Question

Neo

lim[x→0]sin( x)/x=1の証明
y={sin( x)}/x
yx=sin x
両辺xで微分
y'x +yx'=cos x
y'x+y=cos x
y=cos x-y'x
x→0
y=cos 0ーy'0=1
よって{sin (x)}/x=1
極限の式に戻して
lim[x→0]1=1
すなわちlim[x→0]sin( x)/x=1
どこかおかしい箇所ありますか？

Answer 1

ピタゴラス

循環論法になってますね。
y'もxの関数ですので、x→0にしたとき
y'の極限が何になるかも考慮しないといけないですね。(正確にはy'xのx→0における極限)

Neo

論理的には間違っていないですか？

ピタゴラス

微妙ですね、y'xを計算してみたらわかると思いますが、結局元のsinx/xが出てきてしまいます。
つまり、式変形できたように見えて何も変わっていないということですね。

また、最初の方にsinxをxで微分していますが
実はsinxを微分をするためにはこの問題の証明をする必要があります。なので循環論法ですね。

ピタゴラス

そして、微分を認めるならこの問題はsinxのx=0における、微分係数の定義と見ることが出来るので
(sinx)'=cosxより
sinxのx=0における微分係数は
cos(0)=1となり題意を示せます。