Question

きゃわ

わかりやすく教えて下さると助かります
お願いします

式の乗法. 素数. 素因数分解
も     次の問いに答えなさい。          (8点X 3〉

(1) 2つの自然数 ヵ、ヵがある。娘は7でわると商
が6 余りが3 ヵは7でわると商がめ 余りが5
である。この2数の積77z を7 でわったときの余
りを求めよ。            (30 徳島)

Answer 1

ブドウくん

一般に、AをBで割ったときの商がQ、余りがRであるとき、A=BQ+Rが成り立ちます。これは、文字を使ってはやっていないかもしれませんが、小学校のときに50÷6=8...2ならば6×8+2=50であるというような内容をやったと思います。
m=7a+3, n=7b+5と表せるので
mn
=(7a+3)(7b+5)
=49ab+35a+21b+15
=(49ab+35a+21b+14)+1
=7(7ab+5a+3b+2)+1
よって1となります。
高校で習う合同式を用いると
m≡3(mod7)
n≡5(mod7)
よりmn≡15≡1(mod7)
なのですぐに答えが1だとわかります。

ブドウくん

補足
mn=(7a+3)(7b+5)
=7(7ab+5a+3b+2)+1
7ab+5a+3b+2は整数であるから
7(7ab+5a+3b+2)は7×整数のかたちなので7の倍数になります。したがって、7の倍数は7で割りきれるので残った1があまりになります。これはちょうど
mnを7で割ったときの商が7ab+5a+3b+2で、あまりが1であるときにA=BQ+Rの式をたてると
mn=7(7ab+5a+3b+2)+1になるのでこれの逆の発想です。