Question

なず

媒介変数を用いた積分の方向性がよくわからないです。媒介変数があっても、軸の正方向で積分するんじゃなかったのですか？

今回転体の表面積の問題(画像1)を解きましたが、符号が逆でした。
画像の枠が足りないので、ここに問題を書きます。
{ x = acos³t
{ y = asin³t
(a > 0, 0≦t≦2π)のx軸の周りに回転してできる立体の表面積を求めよ

積分の方向はx軸の正方向だと思って、tの範囲を逆にしたのですが、解答(画像2)の方向は普通にtが増える方向で積分してます。

ですが、前にやった面積の積分の問題(画像3)はx軸の正方向で積分してます。この問題をやってこう覚えたのですが…。違いましたか？

②) より,

yー6S1in'7

の ーー       2   ]     に ーー    <
二     36COS“7S1n 7  7   3 S1n“7 COS 7
/7gZz YY / gy )
ーー 】 キト 一 ) 寿    2   2    2
芝)   (錠    Y9^*sS1n^7COS“7

ー36S1n 7COS7

よって, 求める表面積は,
ァ 一
=2 | 72z・gsinyた3gsin cos7g7

な

ーー 12zg | ” sinl /・COS 7の7

ぅ> 12
ー 12zg| sim | ーー 2の
0

例題 10 一2 (面積②)
次の曲線Cと*軸とで囲まれた領域の面積を求めよ。

ァ三(一2)2
C・           (一ooく7ぐeo)
ッッニーだ十37    ・

                                                                                                                                                                                                                                                                  
                                                                                                                                                                                                                                                                 
     

  
   
                                                                                                                                                                                                                                                                    

用
用
ンクググジグ

表語 媒介変数で表された曲線で囲まれた領域の面積を求めることは面白
い計算である。 計算は自動的に置換積分になる。

ンクググクンククククシジグジグググ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[青谷〕 まず曲線 C の概形を求める。          っ
7  sss |一| gs 2 os
ァ=Gー27 ょより, 生57ー5)   | |
2          事| | | 1
の           7
ッデテーだ十37 より, み テー27十3      み | |_
増減表および曲線 C の概形は右のようになる。                   |
Roよう あ を定めると, 求める面積は     * | ュ| 0
9
Sニ リル geー| yg               ME

 

 

= 一玉 IP 2(7一9の一 にの 填8の・2ば一2の
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=  3   0

積分 面積 回転体 表面積 媒介変数