隣接3項間漸化式a(n+2)+pa(n+1)+qa(n)=0について
隣接3項間は、特性方程式によりα=s,β=tとこれを入れ替えたα=t,β=sの2通りについて隣接2項間漸化式を求め(求めた2式を①,②とする)、求めた2式からa(n+1)を消去し、一般項a(n)を求めるのがセオリーです。
ここで疑問に思うのですが、なぜ隣接2項間漸化式一つ(①)を求めた時点でそのまま一般項a(n)を求めることができないのでしょうか？
私は、「求める一般項a(n)が①∩②だから」だと考えたのですが、それはそれで2項間の漸化式が階差数列のときになぜその式一つだけで一般項a(n)が求められるのでしょうか？
長くなりましたが、以下の2点について教えて下さい
・求めた隣接2項間漸化式一つ(①)からそのまま一般項a(n)を求めることができない理由
・求めた隣接2項間漸化式が階差数列の時はそのまま一般項a(n)を求めることができる理由
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・1つ目
求めることはできます。
１つの式から一般項を求めるには、a(n+1)=pa(n)+qⁿ型の変形をする必要があります。私見ですが、二式からa(n+1)を消去する方が楽だから、あるいは教科書の範囲内で解けるから、a(n+1)を消去する方が一般的な解き方なのだと思います。
・2つ目
1つ目の答えの通り、1つの式から一般項が求められますので疑問は解消されると思います。また、a(n)の階差数列がわかるならば、典型パターンに則って解くのが速いでしょう。
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問題集を見てても全て、2つの式から求めてるので2つ必要なのだと思ってました。ご回答いただきありがとうございます！スッキリしました