Question

ゲスト

至急教えてください！

に            4
下 (3) 正の整数ヶが3 の倍数ではないとき, x?を3で割った余りは 1であることを示せ。

(2) を 々は ャオアー<? を満たす正の散数とする。このとき, x、yの少なくとも一方
は 3 の倍数であることを, 背理法を用いて示せ。                 (類 大阪学院大]

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

LUX SIT

(1)正の整数xが3の倍数ではない, これは正の整数xを3で割った余りが1または2であることと同値である.
x≡1(mod3)→x^2≡1^2(mod3)⇔x^2≡1(mod3), x≡2(mod3)→x^2=2^2(mod3)⇔x^2=1(mod3)
となるのでx^2を3で割った余りは1である.
***
(2)正整数x,yのいずれも3の倍数でないと仮定すると(1)からx^2≡1(mod3),y^2≡1(mod3)がいえる.
したがってx^2+y^2≡1+1(mod3)⇔x^2+y^2≡2(mod3)⇔z^2≡2(mod3)[余りが2なので矛盾]となるのだが, (1)よりこのような正の整数zは存在しえない.
以上から正整数x,y,zがx^2+y^2=z^2を満たすとき, x,yの少なくとも一方は3の倍数である.
3^2+4^2=5^2のようにそのようなx,y,zは確かに存在する[well-definiteness, 存在性の確認].
***
合同式を習っていないときはx=3a±1, y=3b±1と置き, 同様の議論をすることで証明できます.

ゲスト

ありがとうございます😄