Question

りんご

なぜこの問題で与式を解答のように変形すると上手くいくのですか？

例 次の不等式を証明せよ。
COS X
se-12
(0 ≤ x ≤ 17/17)
JT
2
《解答》 証明すべき式は
f'(x) = xe cos x - e
excosx</
cosx≦1
と同値である。そこで左辺を f(x) とおくと, 0<x<1/0
= xe
x2
のとき
esin x = e cos x(x — tan x) < 0
0<x<匹
2
x < のとき x <tanx)

よって, f(x) は 0≦x≦で減少し, f(x) ≦ f(0) =1だから、題意は
2
示された.

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

ものぐさ

e^(-x^2/2)は正規分布の関数に使われる有名なもので、数学的には特殊な工夫をしないと扱い辛いのが知られています。

個別に微分していってもいつまでも残って邪魔ですし三角関数は三角関数のまま、指数関数は指数関数のままのこりそのまま簡単になるどころか複雑になるのが予想できます。

漸化式で処理しようとこころみるか、導関数は正負だけ判断するので、微分したものに指数関数は全体にかかっていても問題無いためこの様に処理しようとする感じになります。

りんご

いつも回答ありがとうございます！漸化式で処理とはどのようにするのですか？

ものぐさ

この問題はその方針では解けないです。
ただ、一般論として指数関数や三角関数が絡む微積分は繰り返し構造が出る為に漸化式を立式する事が出来る場合があります。

りんご

なるほど！理解しました！丁寧にありがとうございました！

りんご

たくさんの方に答えていただき感謝しかないです、ありがとうございました！

Answer 2

dio

回答できるかどうか迷っていたのですが、
間違っていたらすみません。

この問題は大小関係を比較して、
特定の定義域内で成り立つことを証明するものですが、

この変形で上手くいく理由は、
左辺と右辺との関係を以下のような不等式
F(x)<=1
におけるからです。

このF(x)が0からπ/2までの間グラフ上で
値が1より上にならなければ良いので、
ここから先はグラフの形状を考える問題に
置き換わります。

添付された画像2枚目の回答にあるように、
F(x)がx=0で1であり、
0からπ/2の区間では減少傾向にあるので、
F(x)は結局、定義域内では1以下という、
ことになります。

したがって、
題意が示されたことになります。

りんご

なるほど！すごく参考になりました！ありがとうございました！

Answer 3

かき

　a ≦ b (0≦a, 0<b)
を証明したいとき、分数をとって
　a/b ≦ 1
(分子の方が分母より小さい) を証明すればよいですね。

これをやってます。

りんご

回答ありがとうございます！変数を寄せるというイメージでしょうか？？

かき

寄せるというか、2つの数の大小比較は、
　引き算して、大 ー 小 ≧0 を示す
または、
　分数にして、大 / 小 ≧ 1 を示す
のいずれかが多いですね。

りんご

なるほど！納得しました！回答ありがとうございました！