Aをランク標準形に書く行基本変形を与える行列を持ってくれば、detAが非ゼロであること、すなわち正則であることが導けます。
ランク標準形に書いたとき、Aが単位行列になるには（単位行列になるまで行基本変形ができるには）、Aがフルランクでなければならないことがわかります。
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遅くなりました😅ありがとうございます！