Question

むにゅたん

(3)で、三平方の定理から答えを求めるまでの計算の途中式を教えてください。

★★★☆
例題 157 空間図形の計量
BCの中点を M, ∠AMD = 0 とするとき,次のも
のを求めよ。
1辺の長さが2である正四面体 ABCD において,辺
B
(1) cose
(2) 正四面体 ABCDの体積V
(3) 正四面体 ABCD の外接球の半径R
(4) 正四面体 ABCD の内接球の半径r
次元を下げる
M
C
底面高さ
=1/2x
(2)V == × △BCD × AH
A
Hはどの位置にあるか?
(3) 立体のまま考えるのは難しい。
外接球の中心Oが含まれる三角形を抜き出して考える。
B
Action» 空間図形は、 対称面の切り口を考えよ
MH
(4)
四面体の
200
内接球の
半径の求め方
JA
三角形の
推
内接円の
JA
半径の求め方
思考プロセス
DAS nie
(1) △ABC, ABCDは1辺の長さ2の
正三角形であるから OA
CA
√√3
2
AM=√√3,DM=√3
△AMD において, 余弦定理により
(3)+(3)-22
2.3.3
60°
B'
M
D
M
C
1
3
H
√32
cose
AM²+DM²-AD²
ABH
(2)AB = AC = AD = 2より,頂点Aから底面 BCDに
垂線 AH を下ろすと,点HはABCDの外心である。
よって, 点Hは線分 MD 上にあり
AH = AMsind=AM√1-cos20
3
2
=√√√3
1-
2√6
よって V =
AH 1 MD
(2·2·2·sin60). 2√6 2√2
=
3
(3)正四面体に外接する球の中心を0とすると
3
OB = OC = OD より 点Oから底面 BCD に垂線 OS を
下ろすと,点Sも ABCD の外心となる。
(2)より,点HはABCD の外心であるから,点 0 は線分
AH上にある。
280
A
2.AM-DM
AABH AACH = AADH
BH = CH=DH
より
よって、点Hは正三角形
BCD の外心であるから,
H は BC の垂直二等分線
上にある。
1=
また
1. ABCD
3
・・△BCD・AH
ABCD
･BC・CD sin BCD
AOBS = AOCS AODS
より BSCS=DS
点と点Sは一致する。

練習
三角形の外心と重心は一致するから
また, BCD は正三角形であり,正
DH =
-4DM-2/3
2√√3
=
√3
R
2
3
さらに, 右の図において
O
外接球はMを通らないか
ら、正弦定理によってR
を求めることはできない。
ことに注意する。
R
M
OA=OD=R
H
~2/3-
D
点HはABCDの重心で
あるから
3
2√6
OH = AH-OA =
-R
2√√6
R2 =
ゆえに, ODH において三平方の定理により
3
DH:HM=2:1
なお、重心については数学
Aで学習する。 D454 ま
とめ⑤参照。
(1)を利用して
2√3
-R +
3
3
したがって
√6
R=
2
(4) 正四面体に内接する球の中心
O'とする
正四面体 ABCD の体積は,四
面体 O'BCD の体積の4倍であ
るから
6
B
2√2
= 4•
3
3 2
･2･2･sin60°・
C
√6
よって
r=
MH=AM cos
√3
3
より
DH-MD-MH=
2√3
3
としてもよい。
4
'から4つの面に下ろ
11
D
した垂線の長さが等しい
から, O' によって分けら
図形の計量
れる4つの四面体の体積
は等しい。
r=OH であることから,
0と0' は一致する。 す
なわち, 正四面体の外接
球と内接球の中心は一致
する。
Point...内接円の半径,内接球の半径
例題150では三角形に内接する円の半径を求めたが、 同様の
考え方で四面体に内接する球の半径を求めることができる。
四面体 ABCD の内接球の中心を0とし, 四面体 ABCD,四
面体 OABC, 四面体 OACD, 四面体 OABD, 四面体 OBCD
の体積をそれぞれV, V1, V2, V3, V4 とすると
A A
MON
B
V = V1 + V2 + V3 + V4.
点 0から各面へ下ろした垂線の長さは,すべて内接する球の
半径rに等しい。 よって
CC
V = V1 + V2 + V3 + V4
1
=
*r ・ △ABC +
3
3
….
△ACD
・AACD + 1/2 ・r・AABD+/1/23
△ABD
r. ABCD
3
=
( 四面体の体積) -rx (四面体の表面積)
3
De
すなわち
これより、四面体に内接する球の半径rを求めることができる。
157 1辺の長さの正四面体 OABCがある。 OAの中点を L, OBを2:1に内分
する点を M, OCを1:2に内分する点をNとする。 △LMNの面積を求めよ。
( お茶の水女子大 )
en.288 問題157
281

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

吉野町💫　#₅₂

、