Question

S

数学B・数列の問題です。中央あたりにある赤い矢印の辺りについてです。
Σの上にあるn-1を(8•3^(k-1)−2)のkにn-1を代入したら、赤い矢印のところは、3^n-2になると思ったのですが、なぜこうなるのでしょうか。
よろしくお願いします。

C
63
基本 例題 35 an+1=pan+(nの1次式)型の漸化式
00000
a=1, an+1=3an+4nによって定められる数列{an} の一般項を求めよ。=jp
基本 34
指針 p.60 基本例題 34の漸化式an+1=pan+gで,g が定数ではなく, nの1次式となって
いる。このような場合は, nを消去するために階差数列の利用を考える。
→漸化式のnをn+1とおき, α+2についての関係式を作る。これともとの漸化式
との差をとり、階差数列{an+1-a} についての漸化式を処理する。
また,検討のように, 等比数列の形に変形する方法もある。
CHART 漸化式 an+1=pan+(nの1次式) 階差数列の利用
1
章
4漸化式数列
an+1=3an+4n
① とすると
解答
an+2=3an+1+4(n+1)
②
一人の消え
①のnn+1 を代入す
ると②になる。
② ①から an+2-an+1=300mi-an)+4
anti-an=bn とおくと bn+1=36+4 3.
これを変形すると bn+1+2=3(b+2)
また
b1+2=a2-a1+2=7-1+2=8
よって, 数列{6+2}は初項8,公比3の等比数列で
bn+2=8.3-1 すなわち bn=8.31-2..... (*)
n≧2のとき
n-l
ana+(8-3-1-2)=1+
k=1
=4-3-1-2n-1 ..... ③
n=1のとき 4・3°-2・1-1=1
8(3-1-1)
--2(n-1)
3-1
a=1であるから,③はn=1のときも成り立つ。
したがって an=4.31-2n-1
差を作り, n を消去する。
{6}は{a}の階差数列。
α=3a+4からα-2
<a2=3a,+4・1=7
<n≧2のとき
an=a₁+Σbk
k=1
①初項は特別扱い
[参考] (*)を導いた後, an+1-an=8・3"-1-2 に ① を代入して α を求めてもよい。
{an-(an+β)} を等比数列とする解法
検討
an+1=3an+4n が, an+1-f(n+1)=3{an-f(n)}
例題は an+1=pan+(nの1次式) の形をしている。 そこで,f(n)=un+βとして,
A の形に変形できるようにα, β
の値を定める。
練習
Aから an+1-{α(n+1)+B}=3{an (an+B)}
ゆえに an+1=3an-2an+α-2β
これと an+1=3a+4n の右辺の係数を比較して -2a=4, a-28=0
よって α=-2,β=-1
ゆえに f(n)=-2n-1
したがって an 4-3-1-2n-1
Aより, 数列{an-(-2n-1)}は初項 α1+2+1=4, 公比3の等比数列であるから
an-(-2n-1)=4・3"-1
③ 35 a1= -2, an+1=-3a4n+3によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。

数学 数学b 数b 数列

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

長飛丸とら

シグマの部分だけの解説をしています。

S

ご教授いただきありがとうございます！
等比数列の定義の認識を間違えていました。おかげさまで間違いに気づけました😭

長飛丸とら

理解して頂けて良かったです。
シグマは全て公式で外せると思ってしまうと落とし穴が待っています。

特に一般項が等比の場合は等比の公式を使うことを意識していれば応用力がついてくると思いますので頑張ってくださいね。

訂正・・・②のところ、等差数列と書いていますが等比数列の間違いです。失礼しました・・・

S

返信が遅くなってしまいすみません。反復練習をして、実践力を身につけていきたいと思います。
ありがとうございました！🥰

長飛丸とら

いえいえ、返信ありがとうございます😆

シグマはややこしいですが、根気よく続けていけばどこかでスッキリする日が来ますので、頑張ってください。

また解説で巡り逢った時はよろしくです🫡

S

頑張ります！😭またお会いしたらよろしくお願いします🙇‍♀️