Question

たたた

写真の9-1(1)は非同次微分方程式y=2y'x+x²(y')⁴についてですが、
g(x,p,C)=0というパラメーター表示をするために(Cを式に含めるために)
2xy'+p=0に注目して、x=C/p²というパラメータ表示を得てますが、もうひとつの解てある、1+2xp²=0に注目して得られたy=-4/3(2x)^(2/3)という解は一体何なのでしょうか？特殊解と同じようなものですか？

写真: https://d.kuku.lu/8cr5ajm24

https://d.kuku.lu/6vn8673w2

第9回演習問題 解答
(2xp'1p+4x²pp tapt)
9-1.(1) p=yとおいて両辺をで微分して整理すると (以下同様)、(1+2cp^) (2xp+p) = 0.
da
2
• 2xp' + p = 0.
と変形して、 log||=-2log|p|+Cより、π=
よって
dp
P
C
y = 2xp+ x²p4, x =
p2
というpによるパラメータ表示を得る。
3
・1+2xp=0.p=-(2)-1/3より、y=- (2x)2/3
(2) p=p'x+2+p+2pp' b.
dx
==
1
dp 2
y = (2+p)x+p²,
-p (1階線形)。 これを解いて、
x=-2p+4+ Ce¯P/2.
(3) (x- e³)p' = 0.
•
p=0. p= Cb, y=Cxec.
• xe = 0. p = log x, y = x logx - x.
(4) p = p²+2(x-1)pp' ). (2(x-1)p' + p − 1)p = 0.
dx
• 2(x − 1)p' + p − 1 = 0, p 1.
2(x-1)
より、
dp
p-1
C
y= (x 1)p², x =
+1.
1)2
• p= 1. y=x - 1.
• p=0. y = 0.
dx
log p+1
(5) p = (logp+1)p'より、
を解いて、
dp
P
(6) (1+xp²)p' = 0.
y = plogp - 1,
p = 0. p=C), y = Cx-C-1.
x = (log p+1)²+C.
1
•1+xp² = 0. y = xp --,
1
x = --
P
p2
9-2. (1) y = sinht, y' = cosht とパラメータ表示すると、 Y = cosht-
dt
dx
=coshtより、
dt
dx
= 1. つまり、t=æ+C. よって一般解はy=sinh (π+C).
(2) (y-y) (y+2y) = 0.
• y' - y = 0. y = Ce
y' +2y= 0. y = Ce-2x
dt
(3) y = acost, y = bsint とパラメータ表示すると、y=bcostu = a cost.
⚫ cost # 0.
dt
dx
a
より、t=q+C.よって一般解はy=bsin (u+C)
⚫ cost = 0. sint = ±1, y = ±b.

高階の微分方程式
2階以上の導関数の項が現れる微分方程式を高階の微分方程式という。 高階の微分方程
式は、一般には求積法 (積分を用いる方法) では解けないが、適当な変数変換によって微分
の階数を下げられる場合がある (またはyを陽に含まない場合、 同次形、 完全形など)。

微分方程式