Question

とんじる

（2）からの解き方がよくわかりません。
教えてください

90 弾性エネルギー
ばね定数kのばねの一端を壁に,もう一端に質
量mの板を取りつけ, なめらかな水平面上に置
いた。 これに,質量 M のボールを押しつけ、ば
ねを自然長よりIだけ縮めてから手を離した。
Im
m
M
□ (1) 板とボールが離れるのは, ばねの伸びがいくらのときか。
□ (2) 板とボールが離れた後, ボールの速さはいくらになるか。
□ (3) ボールが離れた後, 板のついたばねの最大の伸びを求めよ。
ガイド 各状態での力学的エネルギーを考える。

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

ちくわ

初期（ばねが縮んだ状態）
• ボールが板をばね自然長から x だけ縮めていた
• 最初のエネルギー（ばねの弾性エネルギー）
E = \frac{1}{2}kx^2

最終（ばねが自然長になってボールと板が同じ速度で動く）
• ばねの弾性エネルギーはゼロになる
• 運動エネルギーだけが残る
板とボールは同じ速度 v で動いているので、
運動エネルギー = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}Mv^2 = \frac{1}{2}(m + M)v^2

エネルギー保存より：

\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}(m + M)v^2

両辺2で割って：
kx^2 = (m + M)v^2

よって：
v = \sqrt{\frac{kx^2}{m + M}} = x \sqrt{\frac{k}{m + M}}

⸻

✅(2)の答え：

\boxed{v = x \sqrt{\frac{k}{m + M}}}

⸻

(3) ボールが離れた後、ばねの最大の伸びを求めよ

ポイント：

ボールと板がそれぞれ別々に運動し、ばねが最大まで伸びたとき、ばねの伸び量 x’ を求める。

⸻

考え方：

（2）で求めた速度 v で、それぞれ反対方向に動いていく。
• 板の速度：v
• ボールの速度：v
（運動量保存の観点から板とボールが一体として動き、分離後もそのまま運動）

ばねが伸びるとき、ボールは板に引っ張られる。
ばねが最も伸びた瞬間＝ボールと板の相対速度がゼロ＝ボールが最大限に引き戻されて止まる瞬間。

⸻

エネルギー保存を使う

ボールの運動エネルギーがすべてばねの弾性エネルギーに変わる。
• ボールの運動エネルギー：
\frac{1}{2}Mv^2
• ばねの弾性エネルギー（伸びを x’ とする）：
\frac{1}{2}k(x’)^2

エネルギー保存：
\frac{1}{2}Mv^2 = \frac{1}{2}k(x’)^2

両辺2で割る：
Mv^2 = k(x’)^2

v = x \sqrt{\frac{k}{m + M}} を代入：

M \cdot x^2 \cdot \frac{k}{m + M} = k(x’)^2

k を両辺で約分：

\frac{Mx^2}{m + M} = (x’)^2

x’ = x \sqrt{\frac{M}{m + M}}

⸻

✅(3)の答え：

\boxed{x’ = x \sqrt{\frac{M}{m + M}}}
だと思います。！