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penco ®
第2章 複素数と方程式
20
共役複素数
(1) 複素数 α,β について, 次のことを証明せよ.
(i) α+B=a+B
(i) aß=aB
(!!!)
a
( ただし, B+0 とする。
=-
(iv) α が実数であるための必要十分条件は α=α である.
(2) 複素数zに対し, その共役複素数を表す.
4
(i) 複素数 z=x+yi (z, y は実数)が22+2=0 をみたすとき,yを
を用いて表せ.
一方,aß=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i
. aß=aB
a
(注)より(11/13)
c-di
(+½³) = (c + αi) = (c² + a
c+di
1. 1
B c-di
c+di
である.
d
c²+d2
c²+dzi
d
51
一方,
大
(i) 2z+izzの実数倍となるとき, zは22+22=0 をみたすことを示
B,
1
(w) - 1/
B
a
1_α
よって,
==a.
B
(iv) αが実数ならば, α =α+0i であり,
α=a+0i=a-Oi=a=a
(三重大 )
逆に, α =α ならば,
(1) 共役の定義に戻る
(右辺) (左辺)
または, 両辺を
(実部) + (虚部)i
の形に変形して, 一致するこ
とを示す
(2) 共役の基本性質を使う
(i) a²=a²,
a-bi=a+bi より -b=b
:.6=0 となりαは実数である.
よって, αが実数であるための必要十分条件はα=α である.
(2) (i) 22=(x+yi)=x-y'+2xyi であるから,
z'+z=2×(z'の実部) =2(x²-y²) であり, z'+z=0 より
r-y2=0 .. y=±x
(ii) 2z+iz=kz (kは実数) となるとき,
(ア) z=0 のとき, '+z=0 は成り立つ.
2z+iz
(イ) z=0 のとき, k=-
-=2+
2
Z
→精講
(1) 複素数 z= a + bi (a, b は実数)
に対して, a-bi をzの共役複素数
といいと表します。 (i)~ (iv)は共役についての
基本性質です。 共役の定義にしたがって, 両辺の
実部, 虚部を比較しましょう.
解法のプロセス
(2) (i) aß=aβ において,β=α とおけば,
a²=a²
また, α+α=(a+bi)+(a-bi)=2α
=2x (αの実部)
α+α=2x (αの実部)
(ii) 実数であるための必要十分条件である(1)iv) (ii) a=α,
を使ってみましょう。
αが実数 α =α
また,共役の定義より α=α が成り立つこと(+税)
も直ちにわかります。
第2章
iz (=k-2)は実数であるから
2
iz
- iz
より
2
2
->
2²±²²=0 (12) z=-iz
以上, (ア), (イ)いずれのときも z+2=0 は成り立つ。 4 (xd = (-1)xd
ibta
演習問題
解答
−1+√3i
20-1] 2=
とするとき, z+z=[
22=
2
(1) α=a+bi, B=c+di, a, b, c, d は実数で,
iは虚数単位とする.
←a=a+bi,B=c+di とおく
1 1
-+-
である.ただし, iは虚数単位を表し, はzと共役な複素数
Z
2
(i) a+B=(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+d)i
=(a+c)+(b+d)i=(a+bi)+(c+di)=a+B
() aβ=(a+bi) (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
=(ac-bd)-(ad+bc)i
を表す.
(20-2
αを虚部が0でない複素数とする. αの共役な複素数と α2 が等しいと
き, αを求めよ.
( 九州歯科大)
ありがとうございます