Question

Ju的筆記本

一直看不懂這一段
為什麼兩直線垂直，斜率相乘會等於-1？
（B1L5直線方程式）

(二)兩直線垂直
不失一般性,我們可將互相垂直的兩直線(鉛直
a 豐
L₁
線和水平線除外)平移,使其交點落在原點,如圖/
10所示。(注意:平移前後,兩直線的斜率保持不
A(1, m₁)
變。)
→x
設互相垂直的兩直線L,L的斜率分別為mm,
B(1,m2)
m2
且相交於(0,0)。根據斜率的定義,A(1,m),
L2
B(1, mz)分別為L,L以上的點。因為LL,所以
▲圖10
.2
△AOB為直角三角形。利用畢氏定理,得OA+OB = AB,即
整理得
(m²+1)+(m²+1)=(mm)
m₁m2=-1°
==
反之,若mm=-1,亦可由上面的式子反推,得△AOB 為直角三角形,即
41L₂
。
垂直線的斜率
設兩直線LL,均非鉛直線,其斜率分別為m,mm。
(1)若ㄥ,ㄥ,互相垂直,則mm=1
(2)若mm=-1,則L,L,互相垂直。
練習利用上述的兩個結論求直線的方程式。

Answer 1

白膠

補充一個，
可以在兩條線上分別找到方向向量，然後兩個向量垂直的時候內積會等於零：
(1,m1)•(1,m2)=0
1×1+m1m2=0
m1m2=-1

Answer 2

yn

因為兩直線垂直，所以△AOB為直角三角形
然後就可以用畢氏定理OA² + OB² = AB²

斜率m= y/x ，若x=1，y=m
設AB與x軸的交點=C
△AOC中，OA² =OC²+AC² = 1²+m₁²
△BOC中，OB² =OC²+BC² =1²+m₂²
△AOB中，AB² =(AC+BC)² = (m₁-m₂)² ——>因為m₂(y值)為負數，所以用減的

OA² + OB² = AB² ⮕ （1²+m₁²）+ （1²+m₂²）= (m₁-m₂)²
⮕ (m₁² +m₂²+2)= (m₁² - 2m₁m₂ + m₂²)
⮕ 2 = -2m₁m₂
⮕ m₁m₂ = -1