Question

きいろ

この問題の赤で囲った部分の1が4の位置に行くとき以外の考え方を教えて下さい

***
(2) 1の行き場所は1の位置以外の
3通り
3組合せ 373
(1,2,3,4)
(x, *,*,*0)
ここで、1が4の位置に行ったと
1が1の位置に行く
と、不適である。
2,3,4が1~3の
位置に並ぶと考える。
こ
する。
(i) 4が1の位置に行く場合
(1, 2, 3, 4) (4, O. O. 1)
残りの2つの数字の完全順列を考えてW(2)
() 4が1の位置以外に行く場合
4を1と考えると
(1,2,3,4)
「4が1の位置以外」は
「1が1の位置以外」 と考え
ない
数え
よって 1が2の位置, 3の位置に行っても同様に考
えられるから,(i), (ii)それぞれ3通りずつある.
よって,W(4)=3(W(3)+W(2))=3(2+1)=9
られるので、3つの数字の完全順列を考えればい。
したがって, W(3)=2
(1,2,3,4)
(0, 0, 0, 1)
2, 3, 4
ここで,
「41,22,3×3」
だから 4を1と書
き直すと,
wwwww
wwww
「11,22,33」
となり、3つの数字
の完全順列と同じに
注) W (5) について, 考えてみよう。
(1,2,3,4,5)
1は1の位置にこないので省略
なる.
3.00
の完全
る。
練習
188
****
(X,
1がの位置に行く場合で考えると,
たとえば1が2の位置に行くとき,
(i) 2が1の位置に行くとき, (ii) 2が1の位置以外に行くとき
に分けて考えると、次のようになる。
1 2 3 4 5
× 21 X A
× 21 × 54
X21435
O21453
O21534
× 215 x 3
2008-1-5
1 2 3 4 5
12345
X3 12 XX
X 314 25
O31254
O31524
O4 1 253
x 51 24
X41235×4 1825
O51234
x 5 1 2 3
O41523
123 45
031452 第6章
× 31
5 X 2
x 4 1 8 5 2
O41532
x 51 x 2
O51432
O51423
(3.4.5)の完全順列 2を1として考えたときの4つの数の完全順列
W(3)=2
W(4)=9)
1が3.4.5の位置に行っても同様に考えられるから、
W(5)=4 (W(3)+W(4))=4(2+9)=44
一般にn個の数 1, 2, 3, ････, n の完全順列の総数を W (n) とすると,
W(1) = 0, W(2)=1,W(n)=(n-1){W(n-1)+W(n-2) (n≧3)
このような式を漸化式という. (数学B 「数列」 で学ぶ)
また,W(n) を、モンモール数という.
2人1組のペアが5組いて, ペアごとに A, B, C, D. E の机をもっている.い
ま、ペアのうちの1人が, A,B,C,D,E と書かれたくじを引いて, ペア替え
違うパートナーになる場合は何通りあるか

第6章 場合の数
例題 188 完全順列
****
1.2.3.4.....,nを並びかえたとき、どの数字ももとの位置にこな
いように並べたものをn個の完全順列といい,その総数をW(n) と書く。
(1) W(2) W (3) を求めよ.
(2)W(4)=3(W(3)+W(2)) であることを示し, W (4) を求めよ。
1は2の位置にしか行くことができない。
考え方 実際に数え上げて考えてみる.
(i) W(2) について,
12
(1,2)
XXX
(x, O)
O21
(i) W (3) について,
1 2 3
(1,2,3)
X213
(x, 0, 0)
O312
1は1の位置にこないので省略して数え
上げる.
1が2の位置に行くとき、
2が1の位置にくると不適
O2 31
1が3の位置に行くとき
X321
(!!!)
W (4) について
(1,2,3,4)
3が1の位置にくると不適
1は1の位置にこないので省略.
(X,
1234
× 21 A
O2143
1 2 3 4
× 231 X
O241 3
1 2 3 4
O234 1
X2431
× 312 A
× 3 1 A
X3241
O3142
O3 41 2
O3421
O412 3
X4213
X4231
× 4 1 3 2
O4312
O4321
で囲んだ部分は,1が行く位置の数が1の位置に来る場合,acke
つまり、2つの数の位置を入れかえた場合で残った2つの数も2つの数の完
順列と考えることができる.
○で囲んだ数は1と位置が入れかわっていない場合である。
このときを1として考えると3つの数の完全順列を考えているのと同じになる。
解答
(1) (21) のときより
W(2) =1
(231) (312) のときより
W(3)=2
n=2のとき,
1-2
n=3のとき,
3、
2