Question

林

221番の3です。少なくとも一方が実数解をもつとはどういうことなんですか。①のみ実数解を持つ場合と、②のみ持つ場合と、両方とも持つという3パターンにわけられるのではないのですか？解き方など教えてほしいです

指針
解答
2つの2次方程式 x2+2x+m=0,x2+mx+m+3=0について,ともにD
なることが必要十分条件。
0
2つの2次方程式 x2+2x+m=0,x2+mx+m+3=0 の判別式をそれぞれD
とすると D=22-4・1・m=4(1-m), Dz=m²-4・1・(m+3)=m+2)(m-6)
2つの放物線がともにx軸と共有点をもつための必要十分条件は
D≧0 から
D1≧0 かつ D2≧0
4(1-m)≥0
D2≧0 から (m+2)(m-6)≧0
よって
m≤1
・①
よって m≦-2,6≦m
①と②の共通範囲を求めて m-2
□ 220 2つの放物線y=x2+mx+3m,y=x-mx+m²-3が,いずれもx
有点をもたないとき, 定数の値の範囲を求めよ。
*221 2 つの 2次方程式 x2+mx+m=0
......
①, x2-2mx+m+6=0
がある。 次の条件を満たすように、定数mの値の範囲を定めよ。
(1) ① ② がともに異なる2つの実数解をもつ。
(2) ① ② がともに実数解をもたない。
(3) ① ② の少なくとも一方が実数解をもつ。
(4) ①,② のうち一方だけが,異なる2つの実数解をもつ。
..

Answer 1

mo1

参考・概略です

x²＋mx＋m＝0
　m≦0，4≦m　のとき、実数解をもつ
　0＜m＜4　　 のとき、実数解をもたない

x²－2mx＋m＋6＝0
　m≦－2，3≦m　のとき、実数解をもつ
　－2＜m＜3　　 のとき、実数解をもたない　
―――――――――――――――――
(ⅰ)①が実数解をもち、②が実数解をもたないとき
　－2＜m≦0

(ⅱ)①が実数解をもち、②が実数解を持たないとき
　3≦m＜4

(ⅲ)①が実数解をもち、②が実数解をもつとき
　m≦－2，4≦m

(ⅳ)㋓実数解を持たなく、②が実数解をもたないとき
　0＜m＜3
―――――――――――――――――
以上から
(3)は、おっしゃる通り、(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)の場合なので
　m≦0，3≦m　となります

補足、
★「少なくとも・・・」なので
　【(ⅳ)0＜m＜3】でない範囲として
　　m≦0，3≦m　と考えることもできます

林

場合分け一個目と、二個目の違いはなんでしょうか

mo1

御免なさい。
(ⅱ)の文がコピペミスでした。
訂正します

誤：(ⅱ)①が実数解をもち、②が実数解を持たないとき
　　　3≦m＜4

正：(ⅱ)①が実数解を【もたなく】、②が実数解を【持つ】とき
　　　3≦m＜4