Question

𓆩 (*´▽`*)✿𓆪

なぜcosθ≠1なんですか？
また、x0<x<1の議論はしなくて良いのですか？

標問 44
不等式の成立条件
(051) US(
不等式 1-ar≦cOS が任意の実数xに対して成り立つような定数αの
範囲を求めよ.
(早稲田大)
精講
図形的には,y=cosx の下方に納
まる限界の放物線を求めることが問
(x)"
題です.そこで,標問 39の方針にしたがって文
宇定数を分離し:
450-(0)
2
2
0
1-cos x
az.
x²
2
右辺の関数の最大値を求めるという考え方もでき
ますが,面倒です.
SPO4
ここは,単に
f(x)=cosx+ax²-1≧0
が成り立つようなαの範囲を求めると考えた方
が簡単です.その際, f(x) は偶関数なので,xの
変域を≧0に制限できることに注意します。
また,
f'(x)=-sinx+2ax
の符号の変化はわかりにくいので,もう一度微分
するのがよいでしょう.
「解法のプロセス
=f(x) とおく
右左辺
変域を 0 に制限
↓
f'(x)はわかりにくいので
f(x) を調べる
解答>
a≧0とすると
1-ax2≧1>cOS x
を満たすxがあるので, α>0 である.
不等式の両辺は偶関数だから
たとえばx=
TANS G>>0) 0²)
f(x) =cosx+ax²-1≧0 (x≧0)
02
◆xの変域を制限する
が成り立つαの範囲が求めるものである.
f'(x)=-sinx+2ax
f"(x)=-cosx+2a
f'(x) の符号は不明なので
cul
\

f(x)≥0 (x≥0)
(ii) 0 <2α<1 のとき,
刺乘
y
f"
ƒ" (xo) = −cosxo+2α=0 (0 < x < 2)
1
y=2a
を満たすx が存在して
y=COS
f" (x) <0 (0<x<x)
となる.すなわち、f'(x)は0<x< で減少し
O
πT
x
f'(0) = 0 であるから
2
f'(x) <0 (0<x<xo)
よって, f(x) は 0<x<x で減少し,f(0)=0
: J
であるから、f(x)<0 (0<x<xo)
これは,f(x)≧0 (x≧0) に反する.
(i), (ii)より, 求めるαの範囲は, 2œ≧1
:
az
800-1
01
0 <2α <1 のとき不適である
ことを示さないと不完全
200=(x)\

Answer 1

和

何を示したい文脈かが把握できていないようです
前半は図の通りで、大事なのは
「放物線>cosとなるxが存在することが問題」
ということです

後半も似たようなものです
0<2α<1のときは、
0〜π/2の範囲に、cosx₀=2αすなわちf"(x₀)=0となる
x₀が存在します
問題なのは、cosx₀>2αすなわちf"(x₀)<0となる
xがほんの少しでも存在することです

(i)で説明されている（と思われる）ことと被りますが、
ある範囲Rでf"(x)<0となるということは、
その範囲Rでf'(x)は減少します
f'(0)=0であることと合わせると、
少なくとも範囲Rでf'(x)<0になるということです

同様に、範囲Rでf'(x)<0になる
→ その範囲Rでf(x)は減少
→ f(0)=0と合わせて、少なくとも範囲Rでf(x)<0

そもそも、すべてのx≧0でf(x)≧0となるαは？
という問いだったことを思い出してください

0<2α<1だと、少なくとも範囲Rではf(x)<0です
この時点で、条件を満たしません
だから、0<2α<1という範囲は答えに入りません

ここにおいて、
x₀<xとなるxでどうこう、という議論は不要ですね