Question

題目死磕大師🪖

想請問這題怎麼算？
我自己算出來的答案是{y|0<y ≤15}
但我總覺得算得不確定、哪裡怪怪的🤨
麻煩各位大神幫忙抓錯🙏🏻

設f(x)=x²+6x+8,其定義域為{x∈ZR-4≤x≤1},且g(x)=
為{xER-6≤x≤6, x≠0},試求(gf(x)的值域。
1
,
其定義域

gex²+6x+8) = x 76x+8
x + b x + 8 > 0
(x+2) (144)>0
X7-2 **4.
$5/1/-2<x=1}
x=115
(x+3)-1
• x=-2y=0
X = - ] »
91277
0<y≤15.

Answer 1

qn

第二行，x²+6x+8 並非大於零

根據 g 的定義域要求
x²+6x+8 需要在 [-6, 0)∪(0, 6] 的範圍內
得不等式 -6 ≤ x²+6x+8 < 0 或 0 < x²+6x+8 ≤ 6
解不等式得範圍為
-4 < x < -2 或 (-3-√7 ≤ x < -4 或 -2 < x ≤ -3+√7)
或者說 -3-√7 ≤ x ≤ -3+√7 但 x≠-2 且 x≠-4
結合 f 本來的定義域限制
得到 -4 < x ≤ -3+√7 但 x≠-2

再來，你只代入 f(x) 而不是 g(f(x))

把剛剛得到的範圍代入 g(f(x))
因為 g(x) 是倒數函數，輸入值的正負部分要分開看
所以先看 f(x) 的範圍
代入 -4 < x ≤ -3+√7 但 x≠-2 的範圍
得到 -1 ≤ f(x) ≤ 6 但 f(x)≠0
再代入 g，但正負要分開看
當 -1 ≤ f(x) < 0 時，g(f(x)) ≤ -1
當 0 < f(x) ≤ 6 時，g(f(x)) ≥ 1/6

所以值域就是 { y∈ℝ | y≤-1 或 y≥1/6 }

qn

但其實根本不用先看全部 x 的範圍
只要從內而外一個一個代入就好了

先找 f 值域
f(x) = x²+6x+8
= (x+3)² - 1
-4 ≤ x ≤ 1 ⇒ -1 ≤ f(x) ≤ 15

但是 g 的定義域只有 -6≤x≤6, x≠0
所以 f(x)>6 和 f(x)=0 的部分就不管了
現在 g 的輸入範圍是 -1≤f(x)≤6, f(x)≠0

因為 g 是倒數函數，我們要把正負部分區分開來
當 -1 ≤ f(x) < 0 時，g(f(x)) ≤ -1
當 0 < f(x) ≤ 6 時，g(f(x)) ≥ 1/6

所以 g(f(x)) 的值域就是 { y∈ℝ | y≤-1 或 y≥1/6 }