Question

ｍ

色がついた部分の問題で数学検定の問題です。教えてください

2
右の図のように, 半径が10cm
の半円 OAB を点Aを中心に30°
回転し, 半円 O'AB' に移動しまし
た。このとき, 次の問いに単位を
つけて答えなさい。ただし,円周
率はとします。 (測定技能) A
B'
O'
130°
10cm
0
B
(4) 色のついた部分のまわりの長さは何cmですか。
(5) 色のついた部分の面積は何cmですか。
第2回 問題 2次 <数理技能>
4
A
丁
(8)E
るこ
(9) →
(10)
に用

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

東

図形全体を線分AB'で分けて考えると、下は半径20cmの中心角30°のおうぎ形ABB'、上は半径10cmの半円O'AB'と考えられる。

(4)
色のついた部分のまわりの長さはおうぎ形ABB'の弧と半円OAB及びO'AB'の弧の長さの合計だから、
ABB'の弧=20×2×π×30/360=10/3π
OABとO'AB'の弧=10×2×π×1/2=10π
よって10/3π+10π+10π=70/3π(cm)

(5)
色のついた部分の面積はおうぎ形ABB'の面積に等しいから、
20×20×π×30/360=100/3π(cm2)

ｍ

OABとO'AB'の弧=10×2×π×1/2=10π
でなぜ１/２をかけたのですか？

ｍ

回答ありがとうございます。

東

半円の弧の求め方は半径×2×円周率×1/2ですので1/2を掛けています。
今回はOABとO'AB'で弧の長さが等しい(OABとO'AB'の弧のを足すと半径10cmの円の円周の長さと等しくなる)ので、最終的には足す時の式が10/3π+10π+10πになるか10/3π+20πになるかの違いなので掛ける必要はないと言えばないのですが。

ｍ

ありがとうございます。
なぜ色のついた部分の面積はおうぎ形ABB'の面積に等しい、
となるのですか？

東

図形全体を線分AB'で分けて考えると、下は半径20cmの中心角30°のおうぎ形ABB'、上は半径10cmの半円O'AB'と考えられます。
つまり色のあるなしを無視し、この図形全体の面積を考えるとおうぎ形ABB'の面積+半円O'AB'の面積となります。

ここから色のついていない場所の面積を引いたら色のついた部分の面積を求めることが可能ですが、色のついていない場所の面積は半円OABになります。
半円OABと半円O'AB'の面積は等しいですから、図形全体の面積から色のついていない場所の面積を引くと残りはおうぎ形ABB'の面積になりますので、色のついた場所の面積はおうぎ形ABB'の面積と等しくなります。