Question

なごみ

解答の(2)の下から8行目の不等式の1番左側の式を写真のようにしても0に収束したのですが、下の式ではさみうちの原理を使ってもよいですか？回答よろしくお願いします。

-xであることを示せ。
π
2
(1)0≦xとき, sinx ≧
(2) 極限値 lim
e-nsinx dx を求めよ。
11-00
思考プロセス
★★★
特講
(E) Pr
(別解〕
において, y=sinx
y
y=2
図で考える
(大阪市立大 改)
のグラフは上に凸である。
よって, y = sinx と y=-x
24
1
_y = sinx_
のグラフは右の図のようになる。
したがって,xにお
曲線の凹凸を利用する
(p.234 Go Ahead 10 参
照)。
2つのグラフは原点と点
(1)で交わる。
(
いて
sinx≧ x
2
π
(1) « ReAction 不等式の証明は, (左辺) (右辺)=f(x) の最小値や単調性を利用せよ 例題 122
f(x) =sinx-
2
x とおく。
π
0≤ x ≤
において (f(x) の最小値) ≧0を示す。
(2)
4
章 13 区分求積法,面積
ensinxdx はnの式で表すことができない。
ReAction 直接求めにくい極限値は、はさみうちの原理を用いよ 例題25
前問の結果の利用
175
(2)(1)より,0≦x≦において=xsinx 1 で
2
あるから
-n≤ -nsinx ≤ - 2x
2n
はさみうちの原理を用いるために見つける。
ここで,y=ex は単調増加するから
(S)
2
-x = sinx =
π
(1)の結果から
olgola
+x-woln
e-n sensinx sex
π
等号が成り立つのは, x = 0,
Se S
-nsinx
このときのみであるから
1dx<
ensinxdx <
10
Jdx D
Sensinx dx に関する不等式を導く。
が現れるか?
2
-n dx <
e
nsinx dx<
2n
exdx
不等式の等号は常に成り
立つのではないから, 下
の積分の不等式は等号が
付かない。
いよ
10
20
・極限値が一致することを示す
()
ここでex=[e-"x
=
Ro
2
解 (1) f(x) = sinx-
_x とおくと
π
122
2
π
①
π
f'(x) = cosx-
y = cosx は 0≦x≦で単調減少し,
VA
+
y=cost
2
π
a
2
O
0 <
-<1であるから, f'(x) = 0 を満たすxの値が
π
π
0 ≤ x ≤
の範囲にただ1つ存在する。
これをα とおくと, f(x)
π
x 0
の増減表は右のようにな
...
00
α
:
1|2|
る。
f'(x)
+
0
f(x) 0
極大
0
よって
lim e-"dx= lim
en=0
lime" = 0
また
Yz8031
1,800
20
・
2n x
exdx =
[-
2n x
π
e
-(e-n-1)
2n
2n
th
よって
dx
no
* limed-lim(-1)=0-0
7
2n
2n
lime" = 0
(f(x) の最小値) ≧0を示
したいのであるから,
このαを具体的に求める
必要はない。
したがって, はさみうちの原理より
豊
lim
2-nsinxdx=0
nJo
練習 178 次の問に答えよ。
-x ≥ 0
2
おいて
f(x) = sinx-
π
したがって
sinx≧
2 x
+-log
2
(1)自然数nに対して "
-dx を求めよ。
CACA
1+a
x2
(2)x>0 のとき,不等式 x-
<log(1+x) <xが成り立つことを示せ。
2
1
dx を求めよ。
(琉球大)
331

Eld
2
e
0
-ux
dx.