Question

みりおん

こういう問題が来た時に、グラフの形って、大体わかるものですか？増減表で0の時極小、2の時極大って書いてあって、そういう判断って式みただけでわかるものなのかなって思って質問しました。

406αを実数の定数とし, xについての3次方程式 x-3x2+α-5=0 が異な
ある2つの正の実数解をもつとき, αの値の範囲は
<a<である。

406
テーマ
3次方程式が異なる2つの正の実数解をも
つ条件
8+ → Key Point
方程式を変形すると
-x3+3x2+5=a
151]
f(x)=-x3+3x2+5 とすると, 求める条件は,
関数 y=f(x) のグラフと直線y=aが,x>0の
範囲で異なる2つの共有点をもつことである。
f'(x)=-3x2+6x
=-3x(x-2)
f'(x) =0 とすると
x=0, 2
f(x) の増減表は次のようになる。
...
0
2
x
f'(x)
f(x)
-
0
+
極小
0 (1)
-
極大 \
火を

y
y=f(x)
f(0) = 5, f(2) =9
から,y=f(x)の
グラフは図のよう
になり,y=f(x)
のグラフと直線
9
5
y=ax>0の
201
y=a
範囲で異なる2つ
O
10 2
x
の共有点をもつよ
うなαの値の範囲は,図から 75<a<19
(S)

Answer 1

和

f(x)のグラフを描くための流れは、大まかに
　f'(x)を求める
　→f'(x)の符号変化から、増減表がつくれる
　→増減表から、f(x)のグラフが描ける
です

極値かどうかの判断は、
f'(x)の符号変化を調べることでわかります
そのためには、f'(x)のグラフが簡単に描けるなら
f'(x)のグラフを描いてみると、
f'(x)の正負はすぐわかります
この場合はf'(x)は2次関数なので、
さっとグラフが描けますね

Answer 2

🍇こつぶ🐡

分かります。逆に分からないと解けません。

aが1次の場合、aの部分を右辺にし、y＝aの直線が残りの3次方程式と交点二つの範囲を求めるのはよくあるパターンです。

3次方程式は3次の係数＜0なので、グラフは極値が二つあればグラフは左側から極小→極大になります。

f’(x)＝0の値が二つあるので、極小、極大値はあると分かります。

グラフ概形がすぐ書けないと、この種類の問題は解くのが難しいでしょう🙇