Question

月

数学Aの整数の問題です。左の写真の問題で、右の写真の赤線部の条件が何のためにあるのか理解できていないので教えてほしいです。

練習
8.3
4個の整数n +1,n+3,n+5,n' +7 がすべて素数になるような正の整数nは存在
しないことを証明せよ.
46

8.3
n n+1
n3+3n+5
n3+3 n+5 n+7
1
2
4
6
8
2
3
11
37
[135]
3
4
30
248
2194
4
5
67
1029
16391
【方針】
(影の部分が合成数)
上の実験により
nが3の倍数のときには n+3が
nが3で割ると1余る数のときには n+5が
nが3で割ると2余る数のときには n' +7 が
7
3の倍数となるのではと仮説を立てる,このことをn
を3の剰余で分類して示す.

以下, M, N は整数とする.
(i) nが3の倍数のとき, n=3pとおけて
n³+3=(3p)³+3
=3(9p³+1)
= ( 3の倍数)
であり,n+34より、このときn+3は素数となら
ない。
() nが3で割ると1余る数のとき, n=3p-2とおけて
()
n+5=(3p-2)+5
=(3M-32)+5
=3(M-9)
M は整数
二項定理により
= ( 3の倍数)
であり,n+56より,このとき+5は素数となら
ない
nが3で割ると2余る数のとき, n=3p-1とおけて
n'+7=(3ヵ-1)'+7
=(3N-1)+7
=3(N+2)
= ( 3の倍数)
N は整数
二項定理により、
(注) ()のとき+1についても
n+1=(3p-1)+1
=3p
= ( 3の倍数)
もいえるが, n+1≧2よりこのとき素数3となる場合
がある.
(注終り)
(i)~ (m)より, 4個の整数
n+1,n+3,n+5, n' +7
がすべて素数になるような正の整数nは存在しない.

数学a 整数

Answer 1

バンダースナッチ

気にしているのは3の倍数であって最小のもの、つまり3になるかどうかだと思います。3になっちゃうと素数になっちゃう訳ですからね