Question

ソル

数IIの4プロセスの52の問題で、写真の赤線で引いているところがなぜ≧になるのかわかりません。解説よろしくお願いします🙇‍♀️

う
C
2ab
52a>0,b>0のとき,ab≧
a+b
を証明せよ。 また, 等号が成り立つときを調
べよ。
3

よってx+y^≧xy+xy
等号が成り立つのは,
平
x-y=0 または (x+2/2)2 +2y=0
のときである。
x-y=0より
3
x=y
(x+1/2)+1=0より 1/2=0 かつ y=0
よって
2ab 2 A
(√ab)?≧a+b)(SPA
√ab >0,
2ab
a+b
>0であるから √ab≧
2ab
a+b
等号が成り立つのは, a-b=0, すなわち ab
のときである。
別解 相加平均と相乗平均の大小関係により
a+b≥2√ab
すなわち
x=y=0
doe
Jei
+60, 2/26 >0であるから,両辺の逆数を
よって, x=y または x=y=0のとき, すなわ
ちx=yのとき, 等号が成り立つ。
とって
(3) 左辺-右辺
A
a+b 2/ab
=0 +1 -1 +1 +2ab
2ab
2ab 0 であるから
=
=√ab
=(x2+y2)-2(x+y-1)=x²-2x+y-2y+2
=(x-1)2+(y-1)2≧0
a+b=2√ab
-1である。
2ab
したがってab≧
a+b
よって
x2+y^2(x+y-1)
08+1 (8)
等号が成り立つのは, x-1=0 かつy1 = 0,
すなわち x=y=1のときである。
参考 正の数a, bの逆数の相加平均
等号が成り立つのは, a=bのときである。
1/1
1
+
2 a b
(4) 左辺-右辺
a2+62+c2
3
2
の逆数
a+b+c\2
1 1
2ab
a+b
をαとの調和平
3
a
b
a2+2+c2a2+62+c2 +2ab+2bc+2ca
均という。 一般に
9
3
=1/12 (242+262+2c22ab-2bc-2ca)
==(2-2ab+b2+62-2bc+c2
+c2-2ca+α2)
— ª× — ª à 0₹ {¿(1 − 2) + ¿(² − 9) +¿(9 − 1)} ——=
3
3
よって
a² + b² + c² = (a+b+c)²
等号が成り立つのは,
a-b=0 かつ b-c=0 かつ c-a=0,
すなわち a=b=c のときである。
08
53
(相加平均)≧ (相乗平均)≧ (調和平均)
が成り立つ。 すなわち, 0, b > 0 のとき
2
a+b z√ab = 1+1
■指針■■
10
a
b
不等式 ABCの証明
→
ABかつ B≦C を示す。
|x2=x2, 1y2=y2 であることに注意する。
(x+2)2_(√x2+y^2+e
= (|x|2+2|xlly|+|v|2)-(x2+y2)
=2|x||x|≧0
52指針
よって
2ab
a>0,b>0より√ab>0,
から, 平方の差を考える。
>0である
a+b
両辺の平方の差を考えると
ab(a+b)2-4a262
(ab)2-
=ab-
2ab
\2
a+b
4a2b2
(a+b)2
ab{(a+b)2-4ab}
=
(a+b)2
(a+b)2
ab(a-b)2
(a+b)2
20
(√x2+y^2(x+1)2
√x2+y2 ≧0, x+20であるから
また
√√x² + y² ≤x+y
{v2(x2+y^)}2-(|x| +12)2
>>=2(x²+ y²) - (x²+2x||y|+|y|²)
よって=x2+x²-2x2=(x-1)20cd
(x+y)/{v2(x2+y2)}2
よって
10,2x2+y2) ≧0であるから
x+3√2(x2+y2)
℗, ± ¹) √√x² + y² ≤x+y≤√2(x² + y²)
)

Answer 1

ino

これは不等号が開いている方から閉じている方を引くと正の数もしくは0になるということを証明しています。なので左辺≧右辺となっているところを左辺-右辺≧0としているので、問題文にある通り"≧"になります🤝