Question

月

数Ⅱの微分法の問題です。(3)について右写真の赤線部で、接線の傾きがf'(0)、f(3a/2)になるのは、t²(2t-3a)=0を解いた結果から出てきてると思うのですが、なぜその結果をf'(x)に代入すると傾きが出てくるのかが分からないので教えて欲しいです。

基礎問
96 接線の本数
曲線 Cty=-x上の点をT(t, ピーt) とする.
(1) 点Tにおける接線の方程式を求めよ。
(2)点A(a, b) を通る接線が2本あるとき, a, bのみたす関係式
を求めよ、ただし,a>0, bキα-a とする.
(3)(2)のとき、2本の接線が直交するようなα, bの値を求めよ.
精講
(2) 3次関数のグラフに引ける接線の本数は,接点の個数と一致し
ますだから、(1)の接線にA(a, b) を代入してできるtの3次方
程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの
考え方は 95 注で学習済みです。
(3) 未知数が2つあるので,等式を2つ用意します.
1つは(2)で求めてあるので,あと1つですが,それが「接線が直交する」
を式にしたものです。接線の傾きは接点における微分係数 (34) ですから、
2つの接点における微分係数の積=-1 と考えて式を作ります。
解答
(1) f(x)=x-x とおくと, f'(x)=3x²-1
よって, Tにおける接線は,
y-(t-t)=(3t2-1)(x-t)
∴.y=(3t2-1)x-2t
186
(2)(1)の接線はA(a, b) を通るので
b=(3t2-1)a-2t3
―は接点のx座標
が2つでてくるなら、(b)を通る2つの接線の
.. 2t-3at2+a+b=0 ...... (*)接点がでてくるということ
(*) が異なる2つの実数解をもつので,
g(t)=2t-3at2+α+b とおくとき,
y=g(t) のグラフが,極大値, 極小値をもち,
y=x
(極大値)×(極小値) = 0 であればよい.
(t,t³-t)
A(a,b)
95注
g'(t)=6t2-6at=6t(t-a)
g'(t)=0 を解くと, t=0, t=α だから

[a≠0
a=0
1g(0)g(a)=0
a0 は極値をもつ
(a+b) (b-a+α)=0
ための条件
キーaa>0 だから, a+b=0
(3) (2) のとき (*)より, t2(2t-3α)=0
2本の接線の傾きは*(0) (272) だから,直交する条件より
3a
3a
2
27
ƒ0)(3)--(-1)(-1)=-1
8
a²=
27
26
26
a>0より,a=
b=-
9
9
○ポイント 3次関数のグラフに引ける接線の本数は
参考
接点の個数と一致する
実は、3次関数のグラフに引ける接線の本数は以下のようになるこ
とがわかっています. 記述式問題の検算用やマーク式問題で有効で
す。
3次曲線Cの変曲点 (89)における接線をと
するとき,
・斜線部分と変曲点からは1本引ける
m
・Cと上の点(変曲点を除く)からは2本引ける
・青アミ部分からは3本引ける
N
C

数学ⅱ 微分法 接戦の本数

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

和

tが何を表すのかわかると、わかるかと思います

月

理解できました。教えてくれてありがとうございます。