Question

Karli

ドイツの数学オリンピックの問題です。

問題を解いたのですが、正しい回答なのか、また、どうやって数学的に答えるのか今一わかりません。ご回答､よろしくお願いいたします。日本語に訳してます｡

2025年のドイツ数学コンテスト第4問は、長方形の枠を使った戦略ゲームがテーマ。この枠は、m×nのグリッド（格子状のマス）から成り立ち、外側の「2m + 2n - 4マス」が枠部分となる。

ルール：
1. プレイヤーは2人（レナーテとエアハルト）。レナーテが先手。

2. 各プレイヤーは交互に長方形の領域を塗ります。このとき、以下の条件を満たさなければならない：

塗る領域は連続したマスで構成されていること。（塗られていないマス同士が直接隣接している必要があります。）
1つ以上のマスを含むこと。

3. 塗り終えた後、未塗りのマスが1つの連続した領域として残っていることが条件です。未塗りマスが分断されるような塗り方はできない。

4. 最後の1手を打ったプレイヤーが勝ちとなる。

問題：
長方形の枠のサイズを表すペア**(m, n)**について、どのサイズならば先手のレナーテが必ず勝つ戦略（最適な戦略）を持つのかを求めなさい。
さらに、それを数学的に証明しなさい。

補足：
マスが「角だけで接している」場合は隣接しているとみなさないものとする。
（例：斜め方向に接するだけでは連続していないとみなす。）

問題： どんな枠のサイズの場合に、先手（レナーテ）が最適なプレイで必ず勝てるかを特定し、その根拠を数学的に証明しなさい。

私の回答:レナーテが勝つには、彼女が先手のことからマスの数は奇数でなければならない。しかし、マスの数は2m+2n-4=2(m+n-2)、つまり偶数であるため必ず勝てる方法はない。

leswettbewerbs Mathematik 2025
Aufgabe 4
Für ganze Zahlen m,n ≥ 3 besteht ein mxn-Rechteckrahmen aus den
2m+2n-4 Randquadraten eines in mxn Quadrate unterteilten rechteckigen
Feldes. Die Abbildung zeigt beispielhaft einen 4x7-Rechteckrahmen.
Auf einem solchen mxn-Rechteckrahmen spielen Renate und Erhard nach
folgenden Regeln, wobei Renate beginnt:
Wer am Zug ist, färbt eine rechteckige Fläche, die aus einem einzelnen
weißen Quadrat oder mehreren weißen Quadraten besteht; gibt es danach
noch weiße Quadrate, so müssen diese weiterhin eine zusammenhängende
Fläche bilden.
Wer den letzten Zug macht, hat gewonnen.
Bestimme alle Paare (m,n), für die Renate eine Gewinnstrategie hat.
Anmerkungen: Zwei Quadrate, die sich nur an einer gemeinsamen Ecke berühren, sind nicht
zusammenhängend. Die Richtigkeit der Antwort ist zu beweisen.
der Rückseite beachten!
Nicht
vergessen:
Einsendeschluss
3. März 2025