Question

おにぎり

⑵を証明したいです。3枚目の式から証明することはできませんか？？できるならやり方を教えて欲しいです

... ②'
|
..(3)
'J
(4)
(☆)
x>0において、関数f(x)(1+1/2)
g(x)=logf(x) を考える.
(1) g" (x) を求めよ. また,これを用いて
g'(x)>0であることを示せ.
(2)2以上の整数nに対して,次の不等式が
成り立つことを示せ.
["g(x)dx=2g(k)=g(x)dx+g(n).
k = 1)
(3) 不定積分 fg(x)dxを求めよ。」できるべき
(4) lim{f(1)f(2)f(3)... f(n)} を求めよ.
n→∞
n
また, limo/m」 を求めよ、必要ならば、
n√n!
lim
n→∞
こと
n→∞
log(1+n) = 0 を使ってよい。
n

g(k) ≤ g(x)≤g(k+1).
よって
k+1
k+1
k+1
S* * 9 ( k ) d x ≤ f * * g ( x ) d x ≤ f g (k+1) dx.
k
Ck+1
k
g(k) ≤ g(x) dx ≤g(k+1).
k
この不等式にk=12... n-1 を代入し,
辺々を足し合わせると,
n-1
Eg(k) ≤ g(x) dx ≤g(k+1).
= 1
n
k=1
n-1 k+1
k = 1 k
k=1
n
g(k)-g(n) ≤ f, g(x) dx = g(k).
g(1)=logf(1) = log 2≥0,
n
Žg(k) = g(k)
k=2
であるから, ①より,
n
n
k=1
k=1
k=2
n
...1
g(k)-g(n) ≤ g(x)dx = g(k).
これより、
n
g(x)dxg(k)
n
k=1
9(x) dx = g(k) = g(x) dx+g(n).
k=1
(3)x>0において,
Sg(x) dx
\x

?
K-
4
50.
k
k
C
f(x) = g(k) = ( kg(x)
ト
'
K+T

Answer 1

GDO

k=1～nまで加算してみるとよいです。（左側の不等式）
-----
∫g(x)dx{0～1}≦g(1)　←k=1のとき
･･･
∫g(x)dx{k-1～k}≦g(k)
･･･
∫g(x)dx{n-1～n}≦g(n) ←k=nのとき
↓加算する
∫g(x)dx{0～1}+∫g(x)dx{1～n}≦∑g(k){1～n}
∫g(x)dx{0～1}>0であるから、･･･これを示しておく必要がある。
∫g(x)dx{1～n}≦∑g(k)

=========
k=1～n-1まで加算すると、（右側の不等式）
∑g(k){1～n-1}≦∫g(x)dx{1～n}
g(n)>0であるから、･･･これを示しておく必要がある。
辺々にg(n)を加算すれば、
∑g(k){1～n}<∫g(x)dx{1～n}+g(n)となる。