Question

ONCE

写真の1枚目にある問題の別解があれば教えていただきたいです。なければ、ないと教えて欲しいです。ちなみに、写真の二枚目は模範解答です。

237(1)定積分 Sofpdt
dt を求めよ。
1+12
(2) 不等式 x2+y2+log (1+z^) ≦ log2 の定める立体の体積を求めよ。
[09 埼玉大 ]

1-fであるから
したがって
a=1+(1-1)cos0,
B= (1-4)2+sin0)
'+2=(1+(1-fcos0}^2+(1-1)^2+sin0)
=12+2(1-1)cos0+(1-1)² cos² 0
+(1-1)(4+4sin0 + sin 20 )
=125(1-1)2+24(1-tcos0
+4(1-1)²sin 0
=22sino-cos0 +3) 2
24sin0 -cos0 + 5 ) + 4sin 0 +5
20tとして, R (a, β, t), S(0, 0, t) とする。
立体を平面 z=t で切った切り口は,半径RSの円で
あるから、立体の体積Vは
RS2dt=
t=π (a².
xf {22sincoso+3)2
よって
1+12
dt=
ゆえに
12
Jo1+1
+
1+tan' cos'0
-510-[0]-4
(2) 与えられた不等式の定める立体をAとする。
与えられた不等式から
do
x 2 + y'Slog2-log (127) ...... ①
①を満たす実数x, y が存在するための条件は
log2log(1+24) 20
すなわち log(1+2) ≦ log2
底は1より大きいから 1+222
よって, zのとりうる値の範囲は
立体 A を平面 z=f(-1
口を表す関係式は
1)で切ったときの切り
中
x+ylog2log(1+t), z=t
ゆえに、切り口の面積をS(f) とすると
S(t)== (log2-log (1+1))
24sin0 -cos0 +5)t + 4sin0 +5)dt
2sincos0 +3) ー(4sincoso+5)+(4sin0 +5)
fasi
=(4sin
4sin 0-2cos 0+6-12sin +3cos 0-15+12sin +15)
(4sin+cosO+6)
(3)(2)から
V=
'=mg(√17 sin(0 + A) +6)
1
ただし
sin A=-
=
cos A=-
4
=
√17
√17 CAP
QがC上を1周するから, sin (0+A) のとりうる値
の範囲は -1sin(0+A)≤1
立体 A は xy平面に関して対称であるから, 求める
体積をVとすると
V=
v=25' sindt
=210g2-log (1+1))dt
=2m[tlog2]-2=[flog(1+19]。
+2x+12 d
21
12
=2mlog2-2mlog2+4xo1fdes
よって、体積Vの最大値は
6+√17
3
-, 最小値は
=4T
-dt
6-√17
ーである。
3
したがって,(1)からV=4(1-4)=2(4-3)
237 体積
238 体積
不等式の定める立体(領域)の体積
立体の存在範囲を調べて, 平面 z=t で切ったと
きの切り口の断面積をの関数を表す。
関
出題テーマと考え方
603
出題テーマと考え方
線分が通過してできる曲面の回転体の体積
12
(1)
-dt=
(2) 曲面Sの平面 x="での切り口の面積をの
関数で表す。
(1) 平面 x=uで考えると,
1+12
(x=N)
Sar=[4]-1
t=tano (002) とおくと
1
dt=
-do
COS20
t 0→1
右の図のようになる。
点O'(1, 0, 0) から線分
PQ までの距離を1とし,
△PQO′の面積を考える
と, PQ=1から
1
Q
0
←0
44
T
P
0
11
y
よって
l="√1-u2 「トース)

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

MathLove

回転体や不等式で表された立体の体積は、回転の軸などの座標軸に垂直な平面で切った断面積を考え、その断面積を積分して体積を求めます。これは定番の解法ですから知らないなら素直に覚えた方が良いと思いますよ。別に特異な解法ではありません。

MathLove

もちろん別解はあると思います(少なくとも私は別解を見たことがないがあることにはあるでしょう)。ただし、1番簡単かつ汎用性の高い解法は画像の解法だと思いますよ。