sf+tg=0の形で使うこともありますが、両辺をtで割って、s/t=kとおくと、kf+g=0と1文字で表せるので普通はそちらを使います
ただし、kf+g=0では、f,gの交点を通る図形のうち唯一、もとの式でt=0のパターン、つまりf=0は表せないことに注意してください(g=0はk=0とすれば表せる)
f(x,y)=0とg(x,y)が点P(p,q)で交わるとすると、Pはf上の点かつg上の点なので代入して成り立つ、すなわち、
f(p,q)=0 かつ g(p,q)=0…①
が成り立ちます。
ここで、図形C:kf(x,y)+g(x,y)=0を考えると、①より
kf(p,q)+g(p,q)=0
が成り立つ、すなわちPはC上の点でもあります。交点が複数ある場合も同様に成り立つから、Cはf=0とg=0の交点を全て通る図形となります。この考え方を束(そく)と言い、特にf,gが直線なら直線束、円なら円束と言います。(もちろん直線と円や、円と三次関数などでも成り立ちます)
以上の理由から、「2つの図形(大学入試ではおもに円か直線)の交点を通る図形を求めたいとき」に使えます。
大学入試では、
・2直線の交点を通る直線のうち～なもの
・2円の2交点を通る円のうち～なもの
・2円の2交点を通る直線(k=-1とすれば2次の項が消えて直線の方程式となる)
・円と直線の2交点を通る円のうち～なもの
のどれかであることが多いです。基本的に「～」の部分の条件を使ってkを求めます
返答ありがとうございます。いくつか質問があるのですが、どういう時にこの式を使えばいいのか、また、どうしてこの式で答えを求められるのか知りたいです。再びすみません。