Question

ぶー

階差数列でSnが出てきたときに、
Sn-1を使うか、Sn+1を使うかどうやって使い分けたらいいですか？
1枚目の問題をSn+1でやってたら答えがSn-1で解いていました😭

教えて下さい🙇‍♀️お願いします😭

2 初項から第n項までの和S" が次の式で表される数列{4}の一
般項を求めよ。
(1)S=n2-3n
Sh+1= (h+1)² -3 (n+1)
h2t2n+1-3h÷3
= n²-n-2
Shti-Sh=anti より
m-n-2-(-3n)=aniti
anti=2n-2
nnt!

解説
② (1) 初項 α1 は
=Si=2
n≧2のとき
an=Sn-Sn-1
=(n2-3n)-{(n-1)2-3(n-1)}
よって
a=2n-4
①
① で n=1 とすると α = -2 が得られるから, ①はn=1の
ときにも成り立つ。
したがって,一般項は
an=2n-4
(2)初項 α は
a1=S=3
1+
10
n≧2のとき
an=Sn-Sn_1=(n+2)-{(n-1)+2}
よって
an=3n2-3n+1
① で n=1 とすると α = 1 となり, ① は n=1のときには成
①
り立たない。
2+2
したがって, 一般項は
a1=3, n2のとき
TRW
an=3n2-3n+1
S- [I
(3)初項 α1 は 01=S1=4
RO
このとき
an=Sn-Sn_1=(2+2−4)-(2"+1−4)
よって an=2+1
①
①でn=1 とすると α = 4が得られるから, ①はn=1のと
きにも成り立つ。
したがって, 一般項は
an=2n+1

-2
② 数列{a} の初項から第n項までの和 S” が,一般項を用
いて S„=-24-2n+5と表されるとき,一般項α を n
で表せ。
Snti=-2anti-2(n+1)+5
anti=Shti-Sn だから
anti=-2anti-2(n+1)+5-(-2an-2h+5)
anai-2anti+2an-2
39n+1=2an-2
1
2/3
anti = 1/an-12/2/2
2
d=-2
変形して
anti+2=1/2(an+2)
数列{an+2}は初項Qi+2=1+2
aにSはより
a-201-2+5
39.=3
a1=1
ai1 よって初填3,公比3/23の教
An+2=3·(3)-1
in-1
An - 3. (3) " -- 2 11

数b 階差数列

Answer 1

鯛のお造り

　S{n+1}=a{1}+a{2}+…+a{n-1}+a{n}+a{n+1}
　S{n}　=a{1}+a{2}+…+a{n-1}+a{n}
　S{n-1}=a{1}+a{2}+…+a{n-1}
ですから、それぞれ差をとると、
　S{n+1}-S{n}=a{n+1}
　S{n}-S{n-1}=a{n}
が出てきます。a{n}が欲しければS{n}-S{n-1}を使ってください

ぶー

なるほど！丁寧にありがとうございます
3枚目の問題はなぜ、an+1を求めるんですか？
こちらもanではダメなんでしょうか？

鯛のお造り

a{n}でもa{n+2}でも何使っても答えはでます。ただ、a{n}を求める場合はa{n-1}が出てきて、n=1の場合a{0}という定義されてない数になってしまうので、n=1を別で扱う必要があります。それが面倒なのでa{n+1}を求めてるんでしょうね

ぶー

漸化式かどうかは関係ありますか？

鯛のお造り

漸化式というか、a{n}が含まれていて、n≧1である場合はa{n-1}の出てこないa{n+1}の方がオススメです

ぶー

なんで1枚目の問題はSn-1を使ってるんでしょうか？

鯛のお造り

a{n+1}を求めてからa{n}に添字を下げても良いですが、結局下げる際にn=1を別で扱わなければならないので、それなら最初からa{1}とa{n}を別で求める方が楽です

鯛のお造り

ほんとはぜひご自身で確かめてほしいんですが、いつn=1を別で扱ったらいいのかとか分からないと思うので比べてみました