Question

いやはや

五行目からはかろうじてわかるんですけど，
六行目からさっぱりなので、答えが欲しかったら言ってもらって大丈夫なので，なんとか上手く説明できる方いませんか，，，？

□4 次の文を読んでア
~
コ ■ に適する数値を求めなさい。 (ただし, オ |<カ 」とする。)
1562,4103,6666のように千の位の数と十の位の数の和が百の位の数と一の位の数の和に等しいけ
たの正の整数 N を考える。
Nの千の位の数を α 百の位の数をb, 十の位の数を c, 一の位の数をdと表すと,
N=7a+
イ b+ ウ c + d となる。 これは,
N = 10 (a + c) + (b + d) + 1 I ] (10α+ b) と変形できる。
以下,k= 3 とする。
ここでa+ c = b + dなので、この値をとおくと,N= オ
A
このときはカ
] (90a +96 + k) となる。
□ の倍数で,このようなNは全部で キ 個ある。最も大きい数は,クで
97 で割り切れる数はケである。また2310は
コ
と素因数分解できる。
<2016 近大附属〉
モン
□ (3)
8
ら

謎

Answer 1

るる

1000a + 100b + 10c + d = 10(a + c) + (b + d) + ① * (10a + b)
1000a + 100b + 10c + d = 10a + 10c + b + d + ① * 10a + ① * b
1000a + 100b = (10 + ① * 10)a + (1 + ①)b
1 + ① = 100だから、① = 99。


N = 10(a + c) + (b + d) + 99(10a + b)
a + c = b + d = Kを代入
= 10K + K + 99(10a + b)
= 11K + 11 * 9(10a + b)
= 11(K + 9(10a + b))
= 11(90a + 9b + K)
よって、② = 11。


11(90a + 9b + K)でK = 3とすると、
11(90a + 9b + 3)
= 11(3 * 30a + 3 * 3b + 3 * 1)
= 11 * 3(30a + 3b + 1)
= 33(30a + 3b + 1)
よって、③ = 33。


K = 3としたので、a = 3 - c、b = 3 - d。
Nは4桁の正の整数でなので、1000 <= N <= 9999。
したがって、
1000 <= 33(30a + 3b + 1) <= 9999
1000 <= 33(30(3 - c) + 3(3 - d) + 1) <= 9999
1000 <= 33(90 - 30c + 9 - 3d + 1) <= 9999
1000 <= 33(100 - 30c - 3d) <= 9999
1000 <= 3300 - 33(30c + 3d) <= 9999
-2300 <= -33(30c + 3d) <= 6699
-2300 <= -99(10c + d) <= 6699
-6699 <= 99(10c + d) <= 2300
-67.69・・・ <= 10c + d <= 23.23・・・
ここで、c >= 0、d >= 0なので、
0 <= 10c + d <= 23
0 <= c <= 9、0 <= d <= 9の範囲で上記の条件を満たすのは、c = (0, 1, 2)、d = (0. 1, 2, 3)の組み合わせの場合のみ。
cが3個、dが4個の組み合わせだから、全部で12個（3 * 4 = 12）。
よって、④ = 12。


a = 3 - cで、c = (0, 1, 2)なので、aの候補は(1, 2, 3)の3つ。
b = 3 - dで、c = (0, 1, 2, 3)なので、bの候補は(0, 1, 2, 3)の3つ。
Nが最大になるにはaとbができるだけ大きければいいので、a = 3、b = 3のときNが最大になる。
よって、⑤ = 3300。


N = 33(100 - 30c - 3d)と変形でき、Nが97の倍数だとすると、100 - 30c - 3dが97の倍数でなければいけない。
nを正の整数とすると、
100 - 30c - 3d = 97n
30c + 3d = 100 - 97n
3(10c + d) = 100 - 97n
3(10c + d) = 99 + 1 - 96n - n
3(10c + d) = 3(33 - 32n) + 1 - n
と変形できる。
ここで3(10c + d)は3の倍数だから、3(33 - 32n) + 1 - nも3の倍数にならなければいけない。
3(33 - 32n)は3の倍数だから、3(33 - 32n) + 1 - nが3の倍数になるには、1 - nが3の倍数であればよい。
nは正の整数だから、1 - nが3の倍数になるのはn = 1のときだけ。

したがって、
3(10c + d) = 3(33 - 32n) + 1 - n
3(10c + d) = 3(33 - 32 * 1) + 1 - 1
3(10c + d) = 3 * 1
10c + d = 1
となる。
これを満たすのはc = 0、d = 1のとき。

c = 0のときa = 3、d = 1のときb = 2なので、Nが97の倍数となるのはN = 3201。
よって、⑥ = 3201。

るる

①=エ
②=オ
...
⑥=ケ