Question

アーモンド

解き方、解く過程を教えていただきたいです

問 2.5.6. (5倍角の公式) cos 50, sin 50 を cos 0, sin を用いて表せ。
間 2.5.7.
√2 √2
(1) 2次方程式
+
を解け。
2
2
(2) 前間の結果を利用して cos (π/8), sin (π/8) の値を求めよ。

二次方程式 三角関数

Answer 1

Take

アーモンド様
(1) ド・モアブルの定理より
　cos5θ+isin5θ
=(cosθ+isinθ)⁵
=(c⁵−10c³s+5cs⁴)+i(5c⁴s−10c²s³+s⁵)　←二項定理で展開。簡単のため cosθ=c , sinθ=s とおく
∴ cos5θ=c⁵−10c³s²+5cs⁴ , sin5θ=5c⁴s−10c²s³+s⁵　■
(2) z=r(cosθ+isinθ) とおく。(r>0)
r²(cos2θ+isin2θ)=1(cos(π/4)+isin(π/4))
∴r²=1 , 2θ=(π/4)+2nπ
∴r=1 , θ=(π/8)+nπ
∴z=cos｛(π/8)+nπ｝+isin｛(π/8)+nπ｝　(n=0,1)
∴z=cos(π/8)+isin(π/8) , cos(9π/8)+isin(9π/8)　←これでも良いが次のほうが美しい
∴z=±｛cos(π/8)+isin(π/8)｝　■
また、z=cos(π/8)+isin(π/8) を与方程式に代入して
｛cos(π/8)+isin(π/8)｝²=(1/√2)+i(1/√2)
∴(c²−s²)+i(2sc)=(1/√2)+i(1/√2)　←cos(π/8)=c , sin(π/8)=s と省略
∴c²−s²=1/√2 , 2sc=1/√2
後者よりs=1/(2√2c) .これを前者に代入して
c²−1/(8c²)=1/√2
∴８ｃ⁴−4√2c²−1=0
∴c²=(√2±2)/4
∴c²=(√2+2)/4　(∵c²>0)
∴c=±√｛(√2+2)/4｝
c>0であるから
c=√｛(√2+2)/4｝=｛√(2+√2)｝/2　■
s は s=1/(2√2c) から求められる。以下、略。　

Answer 2

のーあいであ

(1)ならばx=を求めたいので極形式にしてド・モアブルの法則よりそれぞれの角度に2分の1倍するのかなと、(2)は分からないです力不足でごめんなさい🙏