Question

酢豚

赤線の式がどっから出てきたかがわかりません！！
教えてください🙇

第1章数
次の条件によって定められる数列{an} の一般項を, bn=an+1-an とおくこ
81
とにより求めよ。
*(1)a=1, Qn+1=2an+n-1
(2) a1=1, An+1=3an+4n
O

よって
an=2"-n
(2)条件から an+2=3an+1+4(n+1)
an+1=3an+4n
辺々を引くと an+2-an+1=3(an+1-an) +4
bm+1=36+4
bn=an+1-an とおくと
これを変形して bn+1+2=3(6+2)
ここで, a2=3a1+4・1=7 であるから
b1+2=(2-a)+2=(7-1)+2=8
よって, 数列{6"+2} は初項 8,公比3の等比数
列であるから
b+2=8.3 -1 S-8
すなわち b=8.3"-1_2
数列{bn} は数列{an}の階差数列であるから,
n≧2のとき
n-1
an = a₁+ Σ (8.3k-1-2)
D= D
=1+-
-2(n-1)
k=1
8(3-1-1)
ES 3-1
=4.3"-1-2n-1
初項は α=1であるから,この式は n=1のとき
にも成り立つ。
したがって
a=4.3-1-2n-1
別解 (b=8.3"-1-2 を求めるまでは同じ)
b=8.3"-1-2から
a +1-a=8.312
これに+1=3a + 4n を代入して
よって
(3an+4n)-a=8.3"-1-2
an=4.3"-1-2n-1

Answer 1

dcut

b(n+1)+2=3[bn+2]

→初項のb(1) +2 の数値が欲しい

→b(1)+2 =a2-a1+2 = 6+2 =8

なぜ初項がほしいのか？(知っていると思いますが)

b(n)+2=3[b(n-1) +2]
b(n-1)+2=3[b(n-2) +2]
・・・
b(3)+2=3[b(2) +2]
b(2)+2=3[b(1) +2]

左の式を上の右の式に入れると

b(n)+2=3^n-1(b1+2)

になるので初項のb1＋2を求めます

酢豚

どうやったらb(n)+2=3^n-1(b1+2)になりますか？？

dcut

b(n)+2=c(n)と置くと

c(n)=3c(n-1) →cn=3^n-1 (c1)
c(n-1)=3c(n-2)
c(n-2)=3c(n-3)→c(n-2)=3^n-3(c1)
・
・
・
c(4)=3c(3) →c(4)=3×3×3c(1)
c(3)=3c(2) →c(3)=3× 3c(1)
c(2)=3c(1)

下から上に繰り上がっていく感じです

酢豚

なるほど！！ありがとうございます😭