(5)次は、先生, Sさん、Tさんの会話です。 これを読んで,下の① ② に答えなさい。
先生 「次の設定について、 気づいたことを話し合いましょう。」
設定
同じ大きさの正方形を縦にα個 横に6個, すき間も重なり
もなく並べて、 長方形をつくります。 ただし, a <bとします。
例えば,a= 3.6=4のとき, 右の図1のような長方形
ができます。
次に、長方形の左上の頂点と右下の頂点を結んだ対角線をひ
き、長方形の内部にある線分との交点の個数をn個とします。
例えば、 図1の長方形の対角線をひくと、 右の図2のように,
n = 5 となります。
図1
図2
Sさん 「abnの値には、何か関係があるのかな。」
Tさん 「図2で,交点の個数のnは、長方形の内部にある線分の本数と等しい値になっているよ。
長方形の内部には, α=3のとき, 横の線分が (31) 2本あり, 64のとき,
縦の線分が (41) 3本あるから, n=2+3 = 5 となるね。」
Sさん 「なるほど。 対角線が線分1本と交わると, 交点が1個で
きるからだね。 だけど, 交点の個数のnが線分の本数と
等しい値にならない場合もあるよ。 右の図3のような,
a = 3.6=6の長方形では, n = 5 となるよ」
Tさん 「図2と図3を比べると, 図3の対角線は, 横の線分と縦
図3
の線分の交点を通ることがあるよ。 その交点では, 対角線が線分2本と同時に交わって
いるね。」
Sさん「そうすると, 図3の交点の個数のnは、長方形の内部にある線分の本数から, 対角線
が横の線分と縦の線分の交点を通る回数をひいて求めることができそうだね。」
Tさん 「そうだね。 図2のような, a ともに1以外の公約数がない長方形では, 対角線が横の
線分と縦の線分の交点を通ることはないといえるよ。 このような長方形では, a,b,
nの値の関係を式で表すことができそうだよ。」
Sさん 「図3のような, a ともに1以外の公約数がある長方形では, 対角線が横の線分と縦の
線分の交点を通る回数を調べる必要があるね。」
① 下線部のαともに1以外の公約数がない長方形において,nを, a, b を使った最も簡単な
式で表しなさい。(4点)
