●7 重複組合せ
A,B,C,D の4種類の缶詰を合わせて9個買うとき,
(1) それぞれの缶詰を少なくとも1個は買う場合,買い方は何通りあるか.
(2) 買わない缶詰の種類があってもよい場合, 買い方は何通りあるか.
種類ごとにまとめて並べる
←
(産業能率大)
理するとしたら、多くの人が「左から A,B,C,D の順に、同じ種類の缶詰をまとめて並べる」とする
同じ買い方か違う買い方かが一目でわかるように(買った缶詰を)整
のではないか.例えば,Aを3個, Bを4個 Cを1個,Dを1個ならAAABBBBCDとなる.そして,
この文字列は, AとBの境,BとCの境, C
とDの境が決まれば決まる (復元できる).
000100001010
つまり右のように A~Dを〇境を仕切りで表せば,9個の○と3個のの並びと対応する.
(1)は,仕切りが両端にはなく,かつ隣り合わない。 (2) は並び順は自由である.このような○と
の並べ方の総数を求める.
解答圜
(1) ○を9個並べておき,○の間 (図の1)8か所
から異なる3か所を選んで仕切りを入れる. 仕切り
で区切られた 4か所の○の個数を左から順に A, B,
C,D の個数とすると,どの場所にも○は1個以上あ
るので題意の買い方と対応する. よって, 求める場合
AAABBBBCD
↑↑↑
|0|000
A B C D
8・7・6
3.2
=56(通り)
の数は仕切りの位置の選び方と同じで, 8C3=
(2) ○を9個, を3個, 横一列に自由に並べ、
個数 (○がないところは0個) を左から順に A, B,
C, D の個数とする. この並べ方と題意の買い方は
対応するから,求める場合の数は, 9+3C3=
9+3つ
で区切られた4か所の○の
000||000000
A B C D
12-11-10
=220 (通り)
3・2
■(2)で,各缶詰を1個ずつ余分に買うとすると, 合わせて13個, 各1個以上な
ので (1) と同様にできる (式も 12C3となる). 逆に (1) を各缶詰を1個ずつ減ら
して(2)のように解いてもよい。
□Aをx個, Bをy個, Cを2個, Dをw個買うとすると, x+y+z+w=9で,
(1)はxwが1以上, (2) は x~w が0以上である. このような~w の組の
個数を求めたことになる. p.25のミニ講座も参照.
買い方を決めれば仕切りの位置
が決まる。仕切りの位置が違え
ば違う買い方と対応する。
07 演習題(解答は p.21)
2008 は,各位の数字の和が10になる4桁の自然数である。 (実際に2008 の各位の数字
の和は2+0+0+8=10である.) このように, 各位の数字の和が10になる4桁の自然数
は全部で
個ある.
x+y+z+w=10だが
