Question

おにぎり

(2)の最後のグラフで放物線の真ん中の方が重なってる部分があるんですがどうしてここが重なるとわかるんですか？

大]
大]
*198 実数 αに対し, xy 平面上の放物線 C:y=(x-a)-2a2+1 を考える。
X(1) αがすべての実数を動くとき, Cが通過する領域を求め、図示せよ。
X(2) a-1≦a≦1 の範囲を動くとき,Cが通過する領域を求め,図示せよ。
面
大弥 [15 横浜国大]

198 (1)
a
y=(x-α)2−2a2+1 をaについて整理
すると
a'+2xa-x2+y-1=0
... ①
合
十分
放物線Cが点(x, y) を通るための条件は、①を
満たす実数α が存在することである。
よって、αの2次方程式 ① の判別式をDとする
DO
ger
ここで
1/1 = x2(x+y-1)
+4
=2x2-y+1
D≧0 であるから
2x²-y+1≥0
x
ゆえに y≦2x²+1
x
よって, Cが通過す
ある領域は右の図の斜 y=2x2+1
線部分である。
ただし,境界線を含
む。
0
(2) 放物線Cが点(x, y) を通るための条件は、 ①
を満たす実数 αが1≦a≦1の範囲に存在する
ことである。
よって、αの2次方程式 ①が-1≦a≦1の範
囲に少なくとも1つ実数解をもつ条件を求める。
f(a)=a2+2xa-x+y-1とする。
[1] ① の2つの解 (重解も含める) がともに
-1<a<1の範囲にあるとき
満たすべき条件は
D≧0 かつ f(-1)>0 かつ f(1) > 0
かつ 軸について-1<x<1
D≧0 から y≦2x2+1
f(-1)>0から
yx2+2x
AB
1-2x-x2+y-1>0
すなわち
f(1) 0から
P
1+2x-x2+y-1> 0
すなわち
y>x²-2x
Job
->0 [E]
101-200
-1<x<1から -1<x<1
[2] ① がα=-1を解にもつとき
f(-1) = 0 から y=x2+2x
[3] ① が α = 1 を解にもつとき
f(1)=0+5
y=x2-2x
[4] ①の解の1つが−1<a<1の範囲にあり,
他の解がα<-1, 1<αの範囲にあるとき、
満たすべき条件は f(-1)f(1) < 0

ゆえに
84 メジⅠⅡABC 受
(y-x²-2x)(y-x2+2x) <0
[y> x² + 2x
よって ly<x²-2x
[y<x2+2x
または
ly > x² - 2x
a=1
よっ
すな
以上か
以上から, Cが
yty=2x2+11
通過する領域は,
3
通過す
右の図
右の図の斜線部分
である。
である
ただし,境界線を
-1-
含む。
ただし
含む。
x
y=x2+2x
-1
y=x2-2x
別解 (xを固定してαを動かしたときの」の値域
を求める解法)
199 P
=-(a+x)2+2x2 + 1
(1)y=(x-α)2−2a2+1= -a²-2xa + x2 +1
形す
(x
よっ