Question

みみ

ローレンツ力の分野です。（3）の解説の説明の交流電圧の角周波数が円運動の角速度と等しくなっていれば〰︎とあるのですがなぜそうなるのかわからないです。教えて頂きたいです。よろしくお願い致します。

【3】
正の電気をもつ質量の荷電粒子を加速する
ことを考える。いま、半径 R,厚さの中空で半円
形の電極 AとBを図のように距離だけ離し、平面
上に置いた。ただし、厚さと距離はいずれも半
径Rより十分小さいものとする。2つの電極には図
の真上から見た図に対して紙面を裏から表に貫く方
向に磁束密度の大きさ B の一様な磁場がかかって
いる。2つの電極ではさまれた領域 (Cとする) には
磁場はないものとする。電極AとBの間には交流
電圧V(f)=Vcos.ℓ,f が加わっており,t=0のと
真上から見た図)
C
A
B
P
Be
Bo
/装置の\
断面
CB
8E
き、電極Aが高電位とする。 また領域Cの電場は一様とみなせるとしよう。
ABU
Q
FK
この装置によって荷電粒子が加速されるようすは次のとおりである。 時刻 f=0 に電極
Aの右端の点Pに荷電粒子を置くと電圧V によって加速され、 電極 B に入る。荷電粒
子が2つの電極間の距離を移動する時間は十分短く、その間電圧は一定とみなせるもの
とする。電極 Bに入った荷電粒子はローレンツ力を受けて円運動を行い,領域Cに達す
るが、電極内の移動時間は領域を通過する時間に比べて十分長い。したがって、この
間に交流電圧の位相が180°変化していれば荷電粒子は再び電圧V によって加速され、 電
極Aに入って円運動を行い、領域Cに達する。 このように電極 A, B内で円運動した荷
電粒子は領域Cを通過するたびに加速をくり返す。以上を考慮して次の問いに答えよ。
(1) 時刻 f=0 電極 A の右端の点P に置かれた初速度の荷電粒子が電極 B に入ると
きの速度を求めよ。
(2) 電極 Bに入った荷電粒子が行う円運動と円運動の向き(時計回り、反時計
回り)を答えよ。
(3)(2)の荷電粒子が電極 B内を通過する時間および領域Cに到達した荷電粒子を再
Vで加速するために必要な交流電圧の角周波数」をそれぞれ求めよ。
(4)(3)の荷電粒子が領域Cを通過して電極Aに入るときの速度 #27 電極 A内での円運
動の半径 および電極A内を通過する時間をそれぞれ
で表せ。
(5)ここまでの考察により, 荷電粒子は領域Cを通過するたびに電圧Vでどんどん加速
されるが,加速に伴って電極 A, B内での円運動の半径がどんどん増大してしまい
荷電粒子が到達できる速度の上限が電極の大きさに依存してしまう。そこで,荷電粒子
の円運動の半径を保ったまま加速するには磁束密度の大きさと交流電圧の位相をどのよ
うに制御すればよいか、答えよ。

【3】 (1) 外力がする仕事の式 「W=gVB-VA)」より, 荷電粒子が領域Cで電場からされた仕
事は
W=qVo
また,運動エネルギーの変化量は, 物体がされた仕事と等しいので
2gVo
1/12よってN
2
m
m
(2)円運動の加速度の式「=」とローレンツ力の式 「f=guB」より,荷電粒子の電極
B内での円運動の運動方程式 「ma=F」は
01
1-
-= qu₁Bo
(大よって
mv1
gBo
29V
qBo N
m
No. 10.
1
「2mVo
BON
また,フレミングの左手の法則より、 荷電粒子が電極 Bに入ったときに受けるローレ
ンツカは真上から見た図の下向きになるので,円運動の向きは、時計回りとなる。
(3)荷電粒子の電極 B内での円運動の周期は「T=25」より
Zar 2 101 2xm
T=
V₁ gBo qBo
電極 B内で半周するので
T Im
1
qBo
また,交流電圧の角周波数 Ω が荷電粒子の円運動の角速度と等しくなっていれ
ば、領域で再びV で荷電粒子を加速させることができる。
T
gBo qBo
==2.. =
2
m
M
(4)領域Cで再び荷電粒子は電場からの仕事をされ、その分だけ運動エネルギーが変
化するので 12/22-12/2012=gV,
mv
また,(1) より 1/12modなので
2
H
よって12m2=mo12
250
681
ゆえに
(m\)
電極 A内での荷電粒子の円運動の運動方程式は
2
V2
m -=qv₂Bo
12
よって二
= Bo
qBo
ENE
また、同期は
よって
2222121
12
T
v2us
T
01
=T50

交流 電圧 電流 運動量保存