Question

tea*

数Ⅲの問題です。この問題について、x=0で連続かどうか求める過程において絶対値が出てくるののはなぜですか？いきなり答えにもっていっちゃだめなんでしょうか。訳わからない質問ですみません

例題 62 連続と微分可能
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関数 f(x) ={
Ax)=x'sin
xsin=(x≠0)
は. x=0 で連続か. また, x=0 で
(x=0)
微分可能か.
考え方 連続も微分可能もそれぞれ定義に戻って考える.
〈 連続>
<微分可能>
f(x) が x=αで連続
f(x) がx=αで微分可能
⇔limf(x)=f(a)
f(ath)-f(a)
⇒ ƒ'(a)=lim²
h
が存在する
このとき、「微分可能であれば連続」 であるが 「連続であっても、 微分可能とは限らな
「い」 ことに注意する.
0s|sinh|51, x>0 &D.
解答
x=0で 0≦sin- ≦1, x>0より
orinox
limx=0より.im|x°sin-1=0
1-0
したがって,limf(x)=limx'sin==0
r0
0
f(0)=0 より. limf(x)=f(0) となり
10
limf(x)=f(0) であるか確
0-5
かめて, x=0 で連続かど
うか調べる.
x>0より 各辺にx”を
掛けても、不等号の向きは
変わらない.
各辺をx0として極限
をとり, はさみうちの原理
関数f(x) は x=0 で連続である.
を利用する.

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

さ

下に思考の順番をわたしなりにかいてみます。

まず連続かどうか調べるには上の写真にも書いてあるとおりlim(x→0) f(x)=f(a)が成り立つことが必要とわかる。(ここではx=0での連続を調べるのでlim(x→0)f(x)=f(0)を出したい)
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問題文よりf(0)=0とわかるので、つぎにlim(x→0)をしらべる。x²sin1/xをlim(x→0)でいきなり求められないので工夫が必要だと気づく。
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大体三角関数系の極限ははさみうちの原理をつかうのでそれかなあと検討をつける。(こればかりは事前知識です)
⬇️
三角関数のはさみうちの原理では0≦|三角関数|≦1を利用して解いていく。(例えばこの問題だと-1≦sin1/x≦1ですが、絶対値をつければ-1から0の範囲はすべて0から1に変わり範囲は0から1となり解説と一致する)
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x²は絶対に正になる。よって先程の0≦|sin1/x|≦1にx²をかけても不等号の向きは変わらない。よって0≦|sin1/x|≦x²とわかる。
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ここで「はさみうちの原理をつかう」とは簡単に言えば両側から同じ値で近づけたら間に挟まれているものもその近づけている値になることを利用して真ん中の求められない式の極限値がわかるということなので、
x²の極限を求めてみるとlim(x→0)=0より0≦|sin1/x|≦0となる。
⬇️
はさみうちの原理よりlim(x→0)|x²sin1/x|=0となる。従って最初に立てた方針である「x=0での連続を調べるのでlim(x→0)f(x)=f(0)を出したい」がいえたので連続とわかる

こういったかんじでしょうか、私もまだまだ完璧ではないため抜けがあるかもしれませんが、少しでも理解の助けになればとおもいます。

tea*

とてもわかりやすいです！！
0の値をはさみうちの原理で出すために負の値部分をあらかじめ絶対値で消すんですね！
たしかにsin(1/x)にx=0は入れらないのでいきなり答えは無理でした、、
本当にわからなくて困ってたので助かります！
ありがとうございます！