Question

奥田樹

座標平面に描かれた三角形の各辺の垂直二等分線が同一の点で交わることを、解析幾何学の方法によって証明する問題です。

問題文は画像の通りで答えも載せましたが、垂直二等分線の方程式で交わる点をPとしたとき、

辺NP: y-b/2=-(a+c)/b(x-(a-c)/2)
辺MP: y-b/2=-(a-c)/b(x-(a+c)/2)

と書かれていましたが、この二つの方程式を作る流れを教えて頂くようお願いします。

問18 △ABCにおいて,たとえば辺BC の中点Lを通って
BCに垂直な直線のことを辺BC の垂直二等分線といいます.
△ABC の各辺の垂直二等分線は同一の点で交わることを,
解析幾何学の方法によって証明してください。
問18 直線 BC を x 軸, 線分 BC の垂直二等分線を
y軸とする座標軸をとって, A (a, b), B(-c,0),
C(c, 0) とすれば, AB, AC の垂直二等分線の方
程式はそれぞれ
y
- b = = a+c (x-a-c)
2
b
2
b = -a - c ( x = a + c )
b
2
y
2
a2+b2-c2
となり,ともに切片が
となります。
26
N
A
M
B
L
C

座標平面 三角形 解析幾何学

Answer 1

きらうる

直線ACの垂直二等分線についてだけ説明します。もう片方はやり方同じなので。
A(a,b)、B(c,0)から、直線ABの傾きはb/(a-c)

2直線が垂直の時、傾きの積＝-1を利用して、
直線ABに垂直な直線の傾きは-(a-c)/b

ABの中点Mは((a+c)/2,b/2)
よって、直線ACの垂直二等分線の直線は
傾き-(a-c)/b、((a+c)/2,b/2)を通る直線なので

y-b/2＝-(a-c)/b・(x-(a+c)/2)