Question

ももたん

赤枠のところは何をしているのですか？？
(p、q、r)に3通りあるのですが、どのように係数を導いているのか教えてください！！🙇‍♀️

4
6!
解答
展開式の一般項は
例題 (a+b+c)” の展開式の利用
(x2+3x-1)の展開式における x4 の項の係数を求めよ。
6!
(x2)(3)(-1)*=
p!g!r!
p!q!r!
・3°(-1)x2p+g
ただしp+g+r=6, p≧0,g≧0, r≧0
xの項は2p+g=4
******
① のときである。
p≧0g≧0 であるから,このとき, 0, 1, 2 であり
=0 のとき g=4, p=1 のとき q=2, p=2のとき g = 0
よって,① と p+g+r=6 を満たす負でない整数,g,rの組は
(p, q, r)=(0, 4, 2), (1, 2, 3), (2, 0, 4)
したがって 求める係数は
6!
•34(−1)²+
0!4!2!
6!
1!2!3!
6!
・32(-1)'+
2!0!4!
・3°(-1)^
=1215-540+15 = 690

展開式

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

わさび

この式を展開したときに、6個をどんな組み合わせでかけたらx⁴になるかの話が、pqrで求めている部分です
つまりpqrを使わなくても、どんな組み合わせでかけるかさえわかればpqrは不要です

すると組み合わせとしては
(i)x²を2個、3xを0個、-1を4個　(ii)x²を1個、3xを2個、-1を3個　(iii)x²を0個、3xを4個、-1を2個
の3種類あることがわかります

ここから赤枠内の話です
(i)を例に取ると、「3項あるうちからかける1項を選ぶことを6回繰り返したとき、x²が2回、3xが0回、-1が4回選ばれる通りは何通り？」というのが必要になります
これはそのまま重複順列なので、(6!)/2!0!4!=15通りとなります
また、x²を2個、3xを0個、-1を4個なので、それぞれの通りで係数が+1となり、
(i)でできる係数の合計は+15となります
これが写真の赤枠では一番右になっているものです

これを(ii)も(iii)も足すと、最終的な答えとなります。

ももたん

ありがとうございます！！
本当に理解出来ていなかったので助かりました🙇‍♀️