Question

たもちもつ

青チャートIA、場合の数と確率について質問があります。下に写真を貼り付けたのですが、なぜ同じような問題でもこのように解き方が変わってしまうのでしょうか。なるべくわかりやすく教えてください🙇🏻‍♀️よろしくお願いします。

378
基本例
例題 30 最短経路の数
右の図のように,道路が碁盤の目のようになった街がある。
地点Aから地点Bまでの長さが最短の道を行くとき,次
の場合は何通りの道順があるか。
(1) 全部の道順
(2) 地点 Cを通る。
[類 東北大〕
○
(3)地点Pは通らない。 (4) 地点Pも地点 Q も通らない。
+
基本27
AL
指針AからBへの最短経路は,右の図で 右進 または 上進する
ことによって得られる。 右へ1区画進むことを,上へ1区
画進むことを↑ で表すとき,例えば, 右の図のような2つの
まちがしが敗因
(3)
通行止め
からのリスタート最短経路は
地点配置
赤の経路なら
青の経路なら
-1--111-1-1
0000
111→11→1→→
で表される。 したがって, AからBへの最短経路は,
5個 16個の同じものを含む順列で与えられる。
(2) A → C, C→B と分けて考える。 積の法則を利用。
(3) (Pを通らない)=(全道順) (P を通る) で計算。
C
A
(4) すべての道順の集合をUPを通る道順の集合をP, Q を通る道順の集合をQと
n(PnQ)=n(PUQ)=n(U)-n (PUQ) ド・モルガンの
すると, 求めるのは
つまり
ここで
つまり
(PもQも通らない)=(全道順)-(PまたはQを通る)
個数定理
n(PUQ)=n(P)+n(Q)-n(PnQ)
法則
(P または Q を通る) = (P を通る) + (Q を通る) (PとQを通る)
右へ1区画進むことを→, 上へ1区画進むことを↑で表す。
解答 (1) 最短の道順は5個, 16個の順列で表されるから
11!
5!6!
11-10-9-8-7
5･4･3･2･1
462(通り)
(2) A から Cまでの道順 CからBまでの道順はそれぞれ
組合せで考えてもよい。
次ページの別解参照。
AからCまでで
3!
8!
-=3(通り), -=70(通り)
1!2!
4!4!
→1個, 2個
CからBまでで
よって, 求める道順は
3×70=210(通り)
→4個 14個
5!
5!
(3)Pを通る道順は
× -=10×10=100 (通り)
2!3!
2!3!
よって, 求める道順は
7!
3!
(4) Q を通る道順は
×
3!4!
1!2!
462-100=362 (通り)
=35×3=105 (通り)
(Pを通らない)
=(全体)(Pを通る)
PとQの両方を通る道順は
5!
3!
=10×3=30(通り)
2!3! 1!2!
▼PからQに至る最短の
道順は1通りである。
よって, Pまたは Q を通る道順は
ゆえに, 求める道順は
100+105-30=175 (通り)
462-175=287 (通り)

間違いの原因
420
基本 例 54 平面上の点の移動と反復
右の図のように、東西に4本,南北に5本の道路がある。
地点Aから出発した人が最短の道順を通って地点Bへ
向かう。このとき,途中で地点P を通る確率を求めよ。
ただし、各交差点で,東に行くか, 北に行くかは等確率と
し、一方しか行けないときは確率でその方向に行くも
のとする。
A
基本 52 55
指針 求める確率を A-
A→P→Bの経路の総数
A→Bの経路の総数
5C2×2C2
から,
7C3
とするのは誤り!
これは,どの最短の道順も同様に確からしい場合の確率で, 本間は道順によって
確率がである
②なぜこの問題
のように道順
によって確率
が異なる。
例えば,A
PBの確率は
111
1·1·1·1·1=-
1
222.
8
異なる。
2222 2
A-t-ftp-Bの確率は
1.1.1.1.1.1.1=37
ればよい
通るかで分け
交差点を何っ
D
P
したがって,Pを通る道順を, 通る点で分けて確率を計算する。
A
D
30と5
Gulsty
右の図のように, 地点 C, D, C, D', P' をとる。
解答を通る道順には次の3つの場合があり,これらは互いに
排反である。
をチコ
[1] 道順A→C→C→P
この確率は1/2×12×12/23×1×1=(1/2)-1/2
C D
P
道順A→D→D→Pを3つ必ずりを通らないと
SC(1/2)(1/2)x1/2×1=3(1/2)=
●の確率はC(1/2)(121) 2×12/12×1=3(1/2)
[3] 道順AP'→P
を2コ
この確率は
(2) (121) 2×1212-6(1/2)3-13
6
よって、求める確率は1/32+1+1/- 1/- 1/
16
6
8
16
32
2
3D行けない
16
[1] [11→
[2] ○○○
の確
と進む
と進む
○には, 1個と 12
入る。
[3]○○○○と進む。
○には, 2個と 12
入る。
Bは
P→ BIF
1通り
【練習 右の図のような格子状の道がある。 スタートの場所か
③ 54 ら出発し, コインを投げて, 表が出たら右へ 1区画進
み, 裏が出たら上へ1区画進むとする。 ただし, 右の
端で表が出たときと,上の端で裏が出たときは動かな
いものとする。
スタート
A
(1) 7回コインを投げたときに, Aを通りゴールに到達する確率を求めよ
(2)8回コインを投げてもゴールに到達できない確率を求めよ。
[類 島根

場合の数 反復試行の確率

Answer 1

あ

54の指針に書いてある内容が全てだと思います。

同様に確からしい場合、54の↑↑↑→→→→のルートと→→→→↑↑↑のルートは確率が等しくなりますが、この条件だと前者は1/8、後者は1/16で確率が異なっています。

具体的にどこがわからないという説明があれば補足します。

たもちもつ

前者と後者で確率が異なってしまうのは、↑↑↑→→→→の一つ一つの矢印でも、東か北へ進むかの½と、東しか進めない、または北へしか進めない1で個々の確率がそもそも違うのが原因ということですか？

たもちもつ

言葉足らずになってしまいすみません。ですが解答者さん達のおかげでこの問題の意図が掴めました！丁寧にありがとうございました🙇🏻‍♀️

あ

その通りです