Question

レミ

この問題がわかりません
教えて欲しいです！

7. 三角錐 ABCD において、 辺CD は底面
ABCに垂直である。 AB=3で 辺AB上
の2点E, F は, AE=EF=FB=1を満た
し,∠DAC=30℃, ∠DEC=45°
55-5
DBC=60° である。 SintOSIN30
(1) 辺CDの長さを求めよ。 CD=33
0 =∠DFC とおくとき, cos の値を求めよ。
CD 15x = x= = = =
A
D
3R
30°45°
fa
====
1-E1-F1~
3
co
B
第4章

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

高橋

(1)
△ACDについて、∠A＝30°、∠C＝90°なので、AC：AD：CD＝√3：2：1
△ECDについて、∠E＝45°、∠C＝90°なので、CE：DE：CD＝1：√2：1
△BCDについて、∠B＝60°、∠C＝90°なので、BC：BD：CD＝1：2：√3
CD＝xとすると、AC＝√3x、AD＝2x、CE＝x、DE＝√2x、BC＝(1/√3)x、BD＝(2/√3)x

△ABCについて、余弦定理より、cos∠BAC＝(AB²+AC²-BC²)/2AB・AC＝{9+3x²-(1/3)x²}/6√3x＝(8x²+27)/18√3x
△ACEについて、余弦定理より、cos∠CAE＝(AC²+AE²-CE²)/2AC・AE＝(3x²+1-x²)/2√3x＝(2x²+1)/2√3x

cos∠BAC＝cos∠CAEなので、(8x²+27)/18√3x＝(2x²+1)/2√3x
両辺を18√3x倍して、8x²+27＝18x²+9　⇒　x²＝9/5　⇒　x＝3/√5＝3√5/5

CD＝3√5/5

(2)
△CDFについて、∠C＝90°なので、cos∠DFC＝CF/DF

(1)より、CD＝3/√5、AC＝3√3/√5、AD＝6/√5、CE＝3/√5、DE＝3√2/√5、BC＝√3/√5、BD＝2√3/√5

△BCEについて、余弦定理より、cos∠BEC＝(BE²+CE²-BC²)/2BE・CE＝(4+9/5-3/5)/(12/√5)＝(20+9-3)/12√5＝13/6√5
△CEFについて、余弦定理より、CF²＝CE²+EF²-2CE・EFcos∠CEF＝9/5+1-(6/√5)(13/6√5)＝14/5-13/5＝1/5
CF＝1/√5

△BDEについて、余弦定理より、cos∠BED＝(BE²+DE²-BD²)/2BE・DE＝(4+18/5-12/5)/(12√2/√5)＝(20+18-12)/12√10＝13/6√10
△DEFについて、余弦定理より、DF²＝DE²+EF²-2DE・EFcos∠DEF＝18/5+1-(6√2/√5)(13/6√10)＝23/5-13/5＝2
DF＝√2

CF/DF＝(1/√5)/√2＝1/√10＝√10/10
cos∠DFC＝√10/10