Question

もとさん

①剰余の定理で
g（x）である（x-1）を導き出すのは
筆算以外に良い方法はありますか。

暗算では、余りの部分を想定できませんでしたので。

またf’(x)を3でくくるような
考え方ができないかと思っていますが
写真のところで詰まってしまいました。

この先どう進めたら良いか
ご教示いただ蹴ればありがたいです。

解答の三分の一という係数に至りません。

②3次間数の極大と極少が異符号であるとき
x軸と相異なる3点で交わる
と解説にありますが

3次関数のグラフをイメージして
それぞれがx軸の上と下に
あると3点交差すると言っているのでしょうか。

IⅡ 3次関数f(x) = ㎡-32²-3kz-1を考える。 ただし,kは正の定数とす
る。関数 f(x) がæ=αで極大値をとり,æ=βで極小値をとるとき,以下の
設問に答えよ。 (32点)
21152
(1) f(z) を f(z) で割ったときの商と余りを求めよ。
f'ec) = 3x² - 6x-3.k
x² = 3x²² - 36²x²-11 = (3x² - 6x-3k) G(x) + ax + b
3 (x²-x-k) g(x) + ax + b
Ⅱ 解答
(1) f(x)=x^3-3x-3kx-1より
f'(x) =3x²-6x-3k
すなわち
3 (x²-2x-1) (x²-1) - 2 (k+1)x-(k+1)
3 (2²²-22-2) (x²-1)-(4+1) (2x+1).
f'(x)
=x2-2x-kであるから, -3x-3kx-1をx-2x-kで割ると
3
x 3-3x2-3kx-1=(x-2x-k) (x-1)-2(k+1)x (h+1)
f (x) = f'(x)
(x-1)-(k+1)(2x+1)
3
=f'(x) ./(x-1)-(k+1)(2x+1)
よって、求める 1/23( (x-1), 余りは (+1) (2x+1)
IN
A=Bc+d
*A=₁₂x
()
XC-1
"X²² - 2x -α ) ₂²-3x (²-3 k²x - 1
:-) x ²³ - 2x² - kx
-x².-2kx=-1
__x+2x+1
- 21x-2x-1-k

ⅡI 3次関数f(x)=x²-32²-3k-1 を考える。 ただし, kは正の定数とす
る。関数f(x) がæ=αで極大値をとり,æ=βで極小値をとるとき,以下の
設問に答えよ。 ( 32点)
21152
(1) f(z) をf(x) で割ったときの商と余りを求めよ。
6
(2)(1)の結果を用いて, f(x)の極大値と極小値の積f(α)f(β) をkを用いて
表せ。
(3) f(z)=0が相異なる3つの実数解をもつようなんの値の範囲を求めよ。
1/ Tu
\/
(3) 3次関数f(x) において, f(a)f(β) <0 すなわち,極大値と極小値が
異符号であるとき, 3次関数y=f(x) のグラフはx軸と相異なる3点で交
わる。つまり、3次方程式f(x)=0は異なる3つの実数解をもつ。
したがって, k> 0において
(k+1)(5-4k) <0
となるんの値の範囲を求めて
(答)
91
XIV/
456
- k>²
4

数学 剰余の定理

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

塾講師 「たおたん先生」

①
剰余の定理でも良いですけど、問題がf(x)÷f'(x)をしろって言ってるので、問題の言う通り写真のようにf(x)÷f'(x)を筆算するのが答え(商と余り)を出すまで1番早いかと思います。

あと細かい指摘になってしまいますが、記述だと減点されてしまうので申し上げると、質問者様は答案の2行目を見るにf(x)をf'(x)で割った時の商をg(x)と設定しているようなのでg(x)は(x-1)ではなく(x-1)/3が該当します。
答案の2行目から3行目への変形で、2行目の段階はf'(x)で割っていて商がg(x)、3行目の段階はf'(x)/3で割っていて商が2行目と同じg(x)となっているので減点されてしまいます。

②
仰る通りです。
三次関数の極大値と極小値は、グラフでは三次関数のグラフの山と谷のy座標にそれぞれ対応しますので、三次関数のグラフの性質上、山がx軸より上側で谷がx軸より下側ならばグラフはx軸と必ず3箇所で交わります。

なので【「極大値が正」かつ「極小値が負」ならばx軸と3箇所で交わる】が正確です。

本来【極大値と極小値が異符号】・・・(ア)は
【「極大値が正」かつ「極小値が負」】・・・(イ)と
【「極大値が負」かつ「極小値が正」】・・・(ウ)をまとめた条件を表しますが、グラフの性質上、極大値(山)が極小値(谷)より下側になることはないので、(ウ)となることはありません。
よって正確には【(イ)だとx軸と3箇所で交わる】ですがや(ウ)が起きるわけはないので、(イ)=(ア)とみなし【(ア)だとx軸と3箇所で交わる】と書いてしまって大丈夫です。