Question

ひきわり

囲んだ部分の変形がわからないです。
どういう考えでこの変形ができるのか教えてください🙇

類題127
n次正方行列 A=
1
1
の固有値を求めよ。
解答は p.257
1
(右下がり・左下がりの対角線上の成分のみ1, その他の成分はすべて 0 )

x= (x+2) ³g(x)+ ax+b ......(
x=-2 を代入することにより、
-2a+b=(-2), ......①
次に(*) の両辺をxで微分すると,
nx-¹=2(x+2) g(x) + (x+2) ³g'(x) + a
ここにx=-2 を代入することにより,
a=n(-2)"-1 ......②
①,②より, a=n(-2)^-1,
b=(-n+1)(−2)
x = (x2+4x+4)g(x)+ax+bより,
A'=(A'+4A+4E)g (A) +aA+bE
=n(-2)-¹(!
=aA+bE ( A²+4A+4E=0)
1-3
-5,
+(-x+1)(-2x (10)
= (³37(-2)²-1 - (324272-2)-1)
(3n-2) (-2)-1
類題12-7
余因子展開を利用して計算していく。
|A-tEl=D
1-t 0
0
:
0
1
=(1-t)
1-t
⠀
1
1
0
+(-1)'+n
=(1-t)^
B
0
1
1-t
0
1
⠀
1-t
0
1
1
⠀
1
0
1
=(1-t). (1-t) (-1)(n-1)+(n-1):
+(-1)' + ". (-1)(n-1)+1
1
1
100-0…
:
1-t
0
:
1-t
20
(n-1次)
1-t
1-t
1-t
:
1
=(1-12D-2-D2=(12-21) D-2
(n R)
1
1
:
1-t
1
:
1-t
(n-2次)
1
⠀
1-t
...
∴. Dm=t(t-2) D-2
D2m-1=(1-t){t(t-2)}"-' (D=1-t)
=-(t-1)-(t-2)"-1
D2m=t(t-2){t(t-2)}"-1 (D2=t(t-2))
=tm (t-2)m
=t(t-2) D-2
よって,
よって次正方行列 A の固有値は,
(i) n=1のとき
1
(ii) n=3,5,7, ･･･ のときは0,1,2
(i)n=2,4, 6, ･･･ のときは
0, 2
(例題12-7の計算の補足)
2-t
1
1 2-t
⠀
|A-tE|=|
1+(12]++77)
=(n+1-t)
②-①
1-1
=(n+1-t)
= (n+1-t)
⠀
|n+1-t
1
1
=
1
[n+1-t
1
n+1-t 2-t ...
:
N
1
: :
1
1
2-t
1
0
:
0
1-t
:
0
=(n+1-t) (1-t)^-1
...
"..
0
1-t
1
•
1
1
:
2-t
0
:
1-t
1
1
:
･･･ 2-t
1
1
:
2-t
1 (1) A-tEl = 0 1-t
1
0
:
1-tl
第12章 章末問題 解答
-t -1 1
57
0
-2 -2 3-t
=-(t-1)^(t-2)
2
... 固有値は1 (重解)
(2)次に,固有ベクトルを求める。
(i) 固有値1(重解) に対する固有ベクトル
A-1 E
/-1 -11
0 0
0
-2 -2 2
... x+y-z=0
11 -1
(!!!)
0
0
00
0

数学 編入数学徹底研究

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

Take

ひきわり様
Dn=t(t-2)Dn-2　…①　より
n=3: D3=t(t-2)D1　(1番)
n=4: D4=t(t-2)D2　(2番)
n=5: D5=t(t-2)D3　(3番)
n=6: D6=t(t-2)D4　(4番)
n=7: D7=t(t-2)D5　(5番)
…
n=2m-1: D2m-1=t(t-2)D2m-3　(2m-3番)
n=2m: D2m=t(t-2)D2m-2　(2m-2番)
まず、奇数番目の等式だけを並べると
n=3: D3=t(t-2)D1　(1番)
n=5: D5=t(t-2)D3　(3番)
n=7: D7=t(t-2)D5　(5番)
…
n=2m-1: D2m-1=t(t-2)D2m-3　(2m-3番)
このm-1個の等式の辺々を掛け合わせると両辺からD3,D5,D7,…,D2m-3が消えて
D2m-1=D1｛t(t-2)｝^(m-1)
が得られます。
同様にして、偶数番目の等式だけを並べると
n=4: D4=t(t-2)D2　(2番)
n=6: D6=t(t-2)D4　(4番)
…
n=2m: D2m=t(t-2)D2m-2　(2m-2番)
辺々を掛け合わせると
D2m=D2｛t(t-2)｝^(m-1)
となります。
【補足】
考えるポイントは「①の漸化式が等比型 An+1=r An ではあるが、
隣接2項間ではないので、丁寧にnに代入してみよう」です。

ひきわり

めっちゃわかりやすかったです！
ありがとうございます😭