Question

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(6)の解説中の赤線部がなぜその様になるのか教えて下さい！

第5問 (選択問題) (配点20)
0 を原点とする座標空間で,点 K(1, 0, -1)を通り (1,1,1) に平行な直線
lとし,点L(-1, 8, -1) を通り=(1, - 5, 4) に平行な直線をmとする。 こ
のとき、二つの直線l とは共有点をもたない = 1.255/6=142
l上の点Pとm上の点Qについて, 線分PQの長さが最小になるときを考えよ
√125+16.
3
(1) ア
5
+-5+4
OP=OK + su, OQ=OL+tv
(Pは直線上にあり,点Qは直線上にあるから,実数 s, tを用いて
O² + tv-ok-Su
凡
と表される。したがって
PQ=OQ-OP
となる。
オ
の解答群
OK
③ KO
=
さらに,
42
=イウ
オ
オ
su + tv
0
u・v= I である。
①OL
④ LO
を成分で表すとカキ
② KL
⑤ LK
S3
+7%
13:2
26
392
26
+16
42
ク
ケ
である。
(数学ⅡⅠ・数学B 第5問は次ページに続く。)
(-2,8,0)
24+64

太郎さんと先生は線分PQの長さが最小になるときについて話している。
太郎:/PQを計算して, それが最小になるような s, tについて考えればい
いんじゃないでしょうか。
先生線分PQの長さが最小になるとき, PQiu, PQ ⊥ が成り立つこと
が知られていますよ。
(3) 太郎さんの求め方について考えよう。
|PQ|=|-su + tö|²
(4) 先生の求め方について考えよう。
PQ+u =( オ
&
*+s²u²+t²²-2su-2stu v+2t +
サ+シス (t-
+ ソタ
であり,これを用いると線分PQの長さの最小値と,そのときのs,t の値を求め
ることができる。
S-
オ
68 +35² + 42 +²° -25 kla
-2stit
-su+tv). u
ü-sü²+tü.v
tz
'V
チツ s + テ
であり、同様にPQ も求められる。
線分PQの長さが最小になるとき,PQiu, PQ⊥ が成り立つから,PQv,
PQCの値はともに トである。これを用いると, 線分PQの長さが最小と
なるようなs, tの値が求められ､さらに計算をすると線分PQの長さの最小値も
求められる。
(数学ⅡI・数学B 第5問は次ページに続く。)
(5) (3) または (4) の考え方を用いて,線分PQの長さの最小値を求めると、
である。
である。
ナニ
(6) |PQ|=√
となる点PをPとする。 直線上に2点R, Sをとり
APRS が正三角形になるようにする。ただし,点Sのx座標は点Rのx座標よ
り大きいとする
このとき, 点Sの座標は
ヌ
ネ
ネ
ハヒ
ネ
第3回
-73-
ナニ

の成分が正であるから, RS と同じ向きの単位ベクトルを
e とすると
である. よって
である. さらに
であるから
Q5-97-42²x72-17
= e = 3
√42 ×
である.
OQ=OL+ v
ひ
V
高一番
=
/42
OS OQo+QOS
=OQ + 1/3
=(−1,8, -1)+(1, -5, 4)
= (0, 3, 3)
-
となり, 点Sの座標は
1
3
=(0,3,3)+1/12 (1, -5,4)
4 13
3'3 3
ひ =
V
4
3
3
13
3
RS C
RとSではSの方がx座標が大きく
アのx成分は正であるから,隠
は同じ向きである.したがって
でも同じ向きである、
設
解