Question

契約

囲った部分なぜ、式が変わるのか理解できません。
2k-1と2’k-1のやつです。

1 2
ZZZ
初項から第210項までの和を求めよ。
解答
指針 分母が変わるところで区切りを入れて,群数列として考える。
分母: 1|22|3, 3, 34, 4, 4,4|5,
1個 2個
3個
4個
第n群には、分母がnの分数がn個あることがわかる。
分子: 12,3|4,5,67, 8, 9, 10|11
分子は,初項 1,公差1の等差数列である。 すなわち,もとの数列の項数と分子
は等しい。
まず,第 210 項は第何群の何番目の数であるかを調べる。
分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。
8 9
67
5
10|11
1 | 2
34
12'23'3'
3 4'4'4'
5
第1群から第n群までの項数は
1+2+3+ ････..+n= n(n+1)
=1/√n(n²+1)÷n=² n²+1
2
第210項が第n群に含まれるとすると
(n-1)n <210≤ n(n+1)
よって
(n-1)n<420≦n(n+1)
(n-1)n は単調に増加し, 19・20=380, 20・21=420 である
から ① を満たす自然数nは
n=20UH
また,第 210 項は分母が 20 である分数のうちで最後の数 1/2 ･･20・21=210
である。 ここで,第n群に含まれるすべての数の和は
1/27 12.11/2n(n-1)+1}+(n-1)・1) ÷n
ゆえに, 求める和は
20k2+1
20
2+¹ -12 +21)-(20-21-41 +20)
²²
k=1
2\k=1
.=1445
k=1
[類 東北学院大 ]
......
練習の累康を分母とする既約分数を,次のように並べた数列
③ 30
13
2'4'4'8'
8 8 768.1/16 3 5
う
"
16'16'16'
について、第1項から第100項までの和を求めよ。
1 3 5
いて、
もとの数列の第k項
分子がんである。ま
群は分母が
個の数を含む。
これから第n群の
の数の分子は、
n(n+1)
は第群の数の分
子の和→ 等差数列の
n{2a+(n-1)d}
15
1
16' 32
【類岩手大】
P.460 EX
自然委
(1) 大
料
(2) 1
る
指針

332数学 B
練習 2の累乗を分母とする既約分数を、次のように並べた数列
$30 1/11 1
2 4 4 8 8 8 8 16' 16' 16'
1131 3 5 7 1 3 5
について、第1項から第100頃までの和を求めよ。
分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。
11 35 7
3 5
15 1
2/4 31/3. 3. §. 3/16' 16' 16'
1632'
第k群には25-1 個の項があるから, 第1群から第n群までの
項の総数は
2"-1
1+2+22+ +2"-1=
2-1
第100項が第n群の項であるとすると
2"-1-1<100≤2"-1 ......
2-1-1 は単調に増加し, 26-1=63, 27−1 = 127 であるから,
① を満たす自然数nは
n=7
第6群の末項が第63項となるから
100-63=37
したがって, 第100項は第7群の第37項である。
ここで,第n群の項の和は
k=1
2012/17(+3+(-1))=1/12/11/12/2"-1{(1+(2"-1)}
2n
22-2
更に、各群のk番目の項の分子は2k-1である。
よって, 求める和は
6
·=2"-1
-12-1+128·3
1..
2-2. {1+3+ ......+ (2・37-1)}
=
•63+
･372
•2″−¹{1+(2″−1)}
1369 5401
128 128
15
1
16'32'
練習 自然数 1, 2 3,
Ⓒ31 (1) 左からm
番
表せ。
(2) 150は左から何番目, 上から何番目の位置にあるか。
を、 右の図のように並べる。
上から1番目の位置にある自然数をmを用い
並べられた整数を次のように群に分けて考える。
112/3/4,5,61
…..
(1) 第1群から第群までの項数は
[類 中央大〕
1+2+3+......+m=m(m+1)
左からm番目,上から1番目は第群の1番目であるから
1/2/(m-1)m+1==m³²_₁
1
←2°-1=63
初項1,公比2, 項数n
の等比数列の和。
[類岩手大]
←
は第群の分子の
和で,初項1, 末項2"-1
項数 27-1 の等差数列の和。
←1+(k-1)・2=2k-1
ist
← 2²-2=2¹
k=1
k=12
+1+3+5+....
+(2n-1)=n²
k=1
•2k-1
1 2 47
5 18
3
69
10 ··· ······
←Σk=m(m+
***
***
***
***
(2)
1
第
15
ゆ
J
練習
④32
y
内
10
検
別角
2