Question

ちゃすこん

またまた、解析学です。
解説をお願いします。🙇‍♂️

2.[o.13上の関数 fna)を次のように定義する。
Enladen
(0≤x≤ =)
=
(2-22 (+£X 4)
≤
(1=X≤1)
(n=1,2,...)
=gkz,
関例fn(x1,極限関数fを求め関数列100]で
nx
3₁ im F²+4²
dxを求めよ。
一様収束すが調べよ。

解析学 関数列 極限関数 一様収束

Answer 1

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Take

ちゃすこん様
［２］
（極限関数）
　(ⅰ) x=0 のとき
　　fn(0)=0　∴lim fn(0)=0
　(ⅱ)0<x≦1のとき
　　与えられた x に対して十分大きな n を選べば
　　(1/n)<x で fn(x)=0　∴lim fn(x)=0
　(ⅰ)(ⅱ)より極限関数は f(x)=0 (0≦x≦1).　■
（一様収束性）
0≦x≦1におけるsupを考える。
　sup│fn(x)-f(x)│=1≠0　←fn(x) のグラフから fn(x) は x=1/2n のとき最大値 1 をとるから
　よって、数列｛fn(x)｝は f(x) に一様収束しない。　■
［３］
　被積分関数を fn(x)、その極限関数を f(x) とおく。
　　lim fn(x)=（分母・分子を ÷n して）=x　∴f(x)=x
さらに fn(x)-f(x) を g(x) とおく。すなわち、
　g(x)=nx/(√(n²+nx²)) - x
∴g'(x)=n³/｛(n²+nx²)√(n²+nx²)｝-1
　 <n³/｛(n²+0)√(n²+0)｝-1
　 =0
∴g'(x)≦0
　よって、g(x)は単調減少関数であり、g(0)=0から
　0≦x≦1において常にg(x)≦0であり、かつ、最小値はg(1)である。
　∴lim sup│fn(x)-f(x)│
=lim sup│g(x)│
=lim│g(1)│
=lim(-g(1))
=lim(-n/√(n²+n)+1)
　　=lim(-1/√(1+(1/n))+1)
=0
　よって、数列｛fn(x)｝はf(x)に一様収束する。
　ゆえに、limと∫は交換可能であるから
　（与式）=∫(lim fn(x))dx
=∫xdx
=［x²/2］
=1/2.　■