Question

あ

(3)で2枚目青マーカー部分が分かりません…

第60題
数と論理
整数と論証 [1]
ノートを使って取り組もう!
★★★★
●わからないときは解答解説ページの 「解答の指針」を見てから解いてみよう。
1
次の問いに答えよ。
□ (1) 5以上の素数は, ある自然数n を用いて 6 +1 または 6n-1の形で表されることを
示せ。
□ (2) Nを自然数とする。 6N-1は, 6n-1 (nは自然数) の形で表される素数を約数にも
つことを示せ。
□(3) 6-1 (nは自然数) の形で表される素数は無限に多く存在することを示せ。
('09 千葉大医)

4
立
整数と論証 [1]
1 素数
解答の指針
最終的には(3) で, 「6n-1 (nは自然数) の形で表される素数が無限に多く存在する」ことを示
す問題である。 (1), (2)はそのことを示すための準備である。
POINT
NA
すべての整数はαで割った余りを用いてan+k(k=0, ..., a-1)
と表せる
(1) 「5以上の素数は,6n+1または6n-1 の形で表される｣ことを示す問題だ。ここで、すべ
ての整数を6で割った余りで分類して表すと, 6,6n+1,6n+2,6n+3,6n+4, 6n+5
のいずれかの形で表される。ここで、余り5の場合は6n-1と表すこともできるので,問題
の表記に合わせてこちらを用いよう。 また、素数の定義は｢1とそれ自身以外に正の約数をも
たない自然数」であった。 したがって, 6n±1以外の数はこの定義に当てはまらないことを
示せばよい。
POINT
12 直接証明するのが困難な命題の証明は背理法を用いる
ここで,
(2) 直接証明しようとしても、難しい｡ このようなときは背理法の利用を考えよう。すなわち
「6N-1は, 6n-1 の形で表される素数を約数にもたない」 と仮定して矛盾を導く。さらに
( 1 ) の利用も考えよう。 6n-1の形で表される素数を約数にもたないならば, (1) の結果より
6n+1の形の素数しか約数にもたないことになる。このことから式をつくって矛盾を導けば
よい｡
(3) こちらも直接証明するのは困難なので、 背理法の利用を考えよう。 すなわち「6n-1の形
で表される素数は有限個である」と仮定して矛盾を導く。 ここでも (2)の結果をうまく利用し
て矛盾を導きだせばよい。
解答 間違えた原因やどうすれば解けたかを考えながら読もう。 も参考にしよう!
(1) 5以上の自然数は, 自然数n を用いて,
6n-1, 6n, 6n+1, 6n+2, 6n+3, 6n +4 A
のいずれかの形で表される。
OCK すべての整数を6で割った余りで分類して表すことができたか
6n, 6n+2,6n+4は2の倍数
6n+3は3の倍数
であるから, これらは素数ではない。 B
したがって, 5以上の素数は,
ある自然数nを用いて 6n +1 または 6n-1の形で表される。
( 証明終わり)
A POINT
すべての整数はαで割っ
た余りを用いて
an+k
(k=0, ..., a-1)
と表せる
日 基健事項
素数
1とそれ自身以外に正の約数を
もたない自然数。
Nを自然数とするとき
6N-1は, 6n-1 (nは自然数) の形で表される素数を約数に
もたない
と仮定する。CD
と質」は5以上の自学数ごあめいまた。この働度でも」の意でもな
4の倍数
いので、素因数分解すると, 素因数は5以上の素数」つまり、(1)より、
いのでは自然数の形で表される素数のみとなり、5
1の倍数4の
6N-1 (6n1+1)(6n2+1)(6n3+1). (6nm+1) ..... D
ところが,①の右辺は 6M +1 (Mは自然数) の形で表され、 左辺が
6-1であることに矛盾する。 目
したがって, 6N-1は,
(6nj+1は素数,n, (j = 1,2,.., m) は自然数の乳払 背理法
と表される。
n-1(nは自然数)の形で表される素数を約数にもつ。
とおく。
このとき,整数を
C POINT
6k11,6k2-1, 6ks -1, ..., 6-1...... ②
(k; (j=1, 2, ..., l)は自然数 )
( 証明終わり)
Check背理法によって証明することができたか
36-1 (nは自然数) の形で表される素数は有限個であると仮定し,
それらをC
03
直接証明するのが困難な
命題の証明は背理法を用
いる
これは(2)の結果に矛盾する。 G
したがって, 6n-1(nは自然数)の形で表される素数は
無限に多く存在する。
p=6(6k-1)(6k2-1) (6ks-1)... (6k-1)-1 F
であるものとすると, ② のいずれも約数にもたず, 6n-1 (nは自然数)
の形で表される素数を約数にもたない。
ある命題を証明するために, ま
ずその命題が成り立たないと仮
定して矛盾を導き、そのことに
よってもとの命題が成り立つこ
とを示す証明方法を背理法とい
う。
例えば、m=2のとき
(6n1+1)(6n₂+1) 36₁m₂ + 6n₁ 76M
= 6(6n₁n₂+n₁+n₂) +1
であるから、
6nn2+n+n2 = M とおけば
①の右辺は 6M +1 とおける。
このことは帰納的に成り立つの
で、 ①の右辺は 6.M+1の形で
表すことができる。
m=3のとき(oh,+1)(on2+1)(63+1.
(36n.hatenit6n₂ti) (6
( 証明終わり )
【DMCCK背理法によって証明することができたか
=216ninon」+36n,ngなる
= 6 (36h.n₂ n₂ 16. n. n
思考力
設問の流れから、 (2) の結果を利
用することを考える。 (2)では,
「6N-1は6-1の形の素数を
約数にもつ」ことを示したのだ
から ここでは, 6-1の形
で, 6n-1 の形の素数を約数に
もたないものを②を利用してつ
くることを考える。
(6k1-1) (6k₁-1)-(6k-1)=M
とおけば, p=6N-1 と表せる
から (2)の結果に矛盾する。