Question

Hi（受験生）

117.2
文末これでもいいですか？？

とき、
3
着目
不可能。
める
性質を
■は
から,
余り 1
に割っ
4
り
余り
5
は
4
のと
基本例題117 余りによる整数の分類
nは整数とする。次のことを証明せよ。
(1) 共立薬大 (2) 学習院大]
(1) 2²は3の倍数である。(2n+1は5で割り切れない。
p.485 基本事項 ②
重要 119,120
指針 すべての整数は,正の整数mを用いて,次のいずれかの形で表される。
(kは整数)
mk, mk+1, mk+2, ******, mk+(m-1)
←mで割った余りが 0 1,2,... m-1
そして,この m の値は,問題に応じて決める。
(1) 「3の倍数である｣=「3で割り切れる」であるから、3で割ったときの余りを考える。
したがって, 整数全体を, 3k, 3k+1, 3k+2に分けて考える。 (0) (2)
(2)5で割った余りを考えるから, 整数全体を,5k, 5k+1,5k+2,5k+3,5k+4に分
けて考える。
【CHART 整数の分類
余りで分類
mで割った余りは0,1,2,...., m-1
→ mk, mk+1, mk+2,.., mk+(m-1)
(1+x
解答
(1) すべての整数nは, 3k, 3k+1, 3k+2 (kは整数) のいず
れかの形で表される。
n¹+2n²=n²(n²+2) (534²5
[1] n=3kのとき
n²+2n²=9k² (9k²+2)
= 3.3k²(9k²+2)
[2] n=3k+1²n^+2n² = (3k+1)²(9k²+6k+1+2)
=3(3k+1)²(3k²+2k+1)
[3] n=3k+2のとき n+2n²=(3k+2)(9k²+12k+4+2)
=3(3k+2)²(3k²+4k+2)
よって、2²は3の倍数である。
Ⅱ (2) すべての整数 n は, 5k, 5k+1,5k+2,5k+3, 5k+4
(kは整数)のいずれかの形で表される。
[1] n=5k のとき
[2] n=5k+1のとき
n²+n+1=5(5k²+k)+1
n²+n+1=5(5k²+3k)+3
[3] n=5k+2のとき
n²+n+1=5(5k²+5k+1)+2
[4] n=5k+3のとき
n²+n+1=5(5k²+7k+2)+3
[5]=5+4のとき
n²+n+1=5(5k²+9k+4)+1
それぞれの場合について, n2+n+1を5で割った余りは,
13231であり, n²+n+1は5で割り切れない。
練習
② 117 (1) nーは9の倍数である。
nは整数とする。次のことを証明せよ。
3k-1,3k, 3k+1 と表し
てもよい。 この場合,
3k+1と3k-1をまとめて
3k±1 と書き
330
AM=(1+AS)(1+)
とき,余りが3になることはない。
n¹+2n²=n²(n²+2)
=(3k±1)^{(3k±1)^+2}
=(3k±1)^(9k²±6k+3)
=3(3k+1)^(3k²±2k+1)
(複号同順)
として, 3× (整数)の形にな
ることを示すこともできる。
すべて3×(整数)の形。
5k-2, 5k-1, 5k, 5k+1,
5k+2 と表してもよい。
(検討)
左の解答のように, 整数を余
りで分類する方法は,剰余類
の考えによるものである (演
習例題 123 参照)。
[(1) 京都〕
p.491 EX82
487
Auto
4章
18
整数の割り算と商および余り
)
n
し
14

↑
確〔]全)の整数nは整数を用いる
sk. sk+1, ŠK₁₂, 5k+3₁ 5k + 4
と表すことができる。
[1]n=skar ²
n²³²+ h + 1 = 25k ²³² + 3k + /
= 5 ( 5 *²³ + k) + /
[2]n=5K+ / a² €
n²+n + / = ( JF + 1) ²³+ sk+/+/
= 25k²³²+ 13k + 5
=5(sk+3k)+3
[3] n = 5k + 2 α=z
2
f
n²³² +n + 1 = 25k²³² +20k + 4 + 5k + 2 + 1
=25k+25k+
= 5( st²tsk + ²) + 2
[4] n² = 5k + bact
f
2
n² +n + 1 = 254²³ + 30k + 9 + ²k + 3 +/
25+² +35k + (3
= 5(5²²+7K+2 ) + 3
[5] n = 5k + far²
f
1² +n + 1 = 25€ + 40k + 16 + 5k + 4 +/
25k +45k +21
= 5( 5 F²³² + 9 F +4 ] + [
=
[₁] ~[³]
f
n²+n+ / 12 52² 717 07.

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

和

特に問題ありません

( )内が整数と断ったほうが丁寧ですが、
この模範解答も省略しているので構いません