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三角不等式提到：兩邊和>第三邊
在絕對值的三角不等式是這樣的：
|a|+|b|≥|a+b|
這題的話
|x–3|+|x+2|
=|3–x|+|x+2| ≥ |3–x+x+2| = 5
最小值是5沒錯，且此時滿足等式
|x–3|+|x+2|=5
然後你可以去解這個絕對值方程式
方法很簡單，就是討論。
先找絕對值=0的點，即 x=–2, 3 畫個數線圖：
① ② ③
--------+---•--------+------->
-2 x 3
(此時的 x 滿足 |x+2|+|x–3|=5)
分成三區討論：
① x<–2，
則兩個絕對值裡都是負數，去絕對值補負號
–(x–3)–(x+2)=5
–2x=4
x=–2，但是這個解不在 x<–2中，故①區沒有解。
② –2≤x<3，
則 x+2≥0，x–3<0，負的那個去絕對值要補負號
–(x–3)+(x+2)=5
5=5
這是一個正確的等式，這表示
–2≤x<3 這個範圍裡的每一個 x 都是方程式的解。
③ x≥3，
兩個絕對值裡的數都是正數，所以
(x–3)+(x+2)=5
2x=6
x=3
在 x≥3 的範圍中，x=3是合理的一個解。
所以由①②③區的討論可知
|x–3|+|x+2|=5 這個方程式的解就是 –2≤x≤3。
其實轉化成幾何思考的話，
看上面那個數線圖
|x–3|就是 x到3的距離，
|x+2|就是 x到–2的距離。
因為 –2到3的距離就是 5，
所以只要 –2≤x≤3，都可以滿足
x到3、x到–2的距離和一定是5。
那如果 x 是①區的數，例如 –4
那 –4到3的距離是7，就已經超過5了。
所以x不能跑到①、③區（端點可以）
結論就是
x 必須介於這兩數之間（含端點）
這麼一來，兩段距離和 = 兩數間的距離。
