Question

たたた

写真の問題についてですが、わからないことが2つあります。
①赤枠のところに逆関数と元の関数はy=xについて対称だから逆関数と元の関数の交点はy=xと元の関数の交点と同じと書かれていますが、実際に問題のグラフを図示すれば確認できるのですが、なぜy=xで対称だとy=x上に交点を持つのかがイマイチわからないです

②赤線部にグラフの凹凸が異なるときと書かれていますが、逆にグラフの凹凸が異なるという意味がわからないてす。
以上の2点について解説おねがいします。

写真: https://d.kuku.lu/ugzgkgny6

Answer 1

G/H

まず②から回答すると、グラフの凹凸が異なるというのは、片方が上に凸で、もう片方が下に凸という意味だと思います。
次に①ですが、逆関数と元の関数が必ずy=x上で交わるというのは誤りです。(例は写真を見てください)
そして、どのような関数がy=x上で交わるのかという必要十分条件を求めるのも難しいようです。そこで、この参考書では、「関数と逆関数の凹凸が異なる」という十分条件を提示しているのだと思います。
実際には「関数と逆関数の凹凸が異なる」という条件を満たしていない関数でも、y=x上でのみ交わることはあるので、問題を解く上ではグラフを図示して確認というのでいいのではないかと思います。
(次の文献も参考にしてみてください: https://math.co.jp/uploads/20201220.pdf)

G/H

言いたかったのは、「y=xについて対称」ということのみから「y=x上で交わる」ということは導かれないということです。