Question

あ

この問題の（カ）で、v'＝√V x二乗＋V y二乗となっているのですが、これは、 x成分と y成分の速さを合成したということですか？

8. <斜面をのぼる小球の運動〉
水平な面(下面)の上に,高さんの
水平な平面(上面)が斜面でなめらか
につながっている。 図に示すように
x, y, y'軸をとり、斜面の角度は軸方向から見た断面図
である。 下面上でy軸の正の向きに
y軸とのなす角を 6, として. 質量
mの小球を速さで走らせた。 な
お.06 <90° かつ">0とし、小球は面から飛び上がることはないものとする。 また, 重
力加速度の大きさをgとし、斜面はなめらかであるとする。
次のアイに入る最も適当なものを文末の選択肢群から選べ。 また.
ウクに入る数式を求めよ。
(1) 斜面をのぼりだした小球は、x軸方向にはア, 斜面上のy'軸方向にはイをす
る。 小球が斜面をのぼりきって上面に到達したときの小球の速度x成分の大きさは
y成分の大きさはエ(のぼりきる直前の速度のy成分の大きさに等しい)。 ま
た。斜面をのぼり始めてから上面に到達するまでにかかる時間はオである。上面で
sin
小球の進む方向とy軸とのなす角度を 62 とすると, 0, と 62 の関係は、
と
sind=
なる。
(2) 初速度の大きさを一定に保ちながら, 0, を0から徐々に増やしていったとき, 0, が小
さいうちは小球は上面に到達した。 しかし, 6, がある角度に達すると上面に到達でき
ずに下面にもどってきた。 このときの6cの満たす条件は, sinc=キであり、また
200cのとき小球が斜面をのぼり始めてから再び下面にもどるまでにかかる時間は
[クである。
イの選択肢]
ア
①等速度運動
③ 加速度 a-gcos の等加速度運動
⑤ 加速度 αー
の等加速度運動
⑦ 加速度 α!
の等加速度運動
sind
9
tan
② 加速度 α-gsin
⑩ 加速度 α=-gtan
⑥ 加速度 α=
COS 6
の等加速度運
の等加速度運動
の等加速度運動
(上智大)

セン)
<斜面をのぼる小球の運動〉
上面と下面での速度の成分が等しいことを用いる。
のとき、小球の最高点がちょうど斜面と上面の境目にある。このとき, 0,90° である。
(1) 斜面上の小球にはたらく力は,重力mg と垂直抗力だけであり,これら
の力のx成分は0だから、小球は方向には, usine, の一定の速度で等速
度運動をする。 ・・・・・・ ①
(イ) 小球にはたらく力の成分の大きさは mgsinoであり、向きも含めて考
えれば、小球は方向に加速度gsin の等加速度運動をする。 ......(②)
(カ)方向は等速度運動だから,x成分の大きさは usin0A のまま変わら
(エ) 斜面方向の斜面の長さをとすれば,上面までの高さんは､
h
sino
8
= "sino で与えられるから=-
斜面上での速度の成分の大きさをyとし, 等加速度直線運動
「」 を用いる。 D は cos 0 であるから
³-(vcos 0₁)²=2(-gsing).. h
sing
よりy="ucos'01-2ghB
小球は面から飛び上がらないと指示されているから by がそのまま
上面での速度のy成分の大きさに移行すると考えてよい。
==√cos¹0₁-2gh
(オ)等加速度直線運動の式「v=notat」 をy方向に用いると、(エ) の答え
√cos¹0₁-2gh-vcos 6₁+(-gsind) t
UCOS 0-cos-0₁-2gh
gsino
(カ) 上面に達したときの速さはd=oz² より
t=-
usin)+(cos²0.2gh)=√v(sin'0,+cos20)-2gh
=√√²-2gh C
上面と下面での速度の成分は等しいので usinb1=sinoz
sin 0₁
0₁ = = = = =
√-2gh
2gh
1.
よって
sin 0₂
D
(2) 斜面上に描く放物線軌道の最高点が上面より下にある
場合、小球は再び下面にもとる。 最高点がちょうど斜面
と上面の境目にあるとき 82=90°になるので, (カ)の答え
より
sind,
sin 90
sin Oc=2/12gh
(2) 等加速度直線運動の式「y=plt1/2al」を方向に用いる。 y=0のと
き下面にもどるので、求める時間をとすると
0=ucos0x1+2x(-gsin¢)
1(r_2UCOS 0₁)
gsino
1-
2gh
1=0 >0より 2ucos0D
gsing
A 角度0, の与え方に
COS O, とは
注意する。
ならない。
下面
直抗力
mgsino
軸方向から見た断面図
上面
合力
mg sino
Bimg cosp
いれば
放物線軌道
D
sin 01
斜面を真上から見た図
B 別解 下面と上面での
力学的エネルギー保存則
m²+mgh=-
cos 01
m{(vsin6,)²+(vcos6,)³7+0
-((esin0)+1
U√√cos 0₁-2gh
+mgh
C 別解 力学的エネルギ
一保存則を用いれば
1
m² +0=mv²¹+mah
v=√³-2gh
←D 別解 「ntal」よ
(最高点)までの
2ucos 01
gsino
り
時間をとすれば
0=vcos 0,+(-gsing) fi
求める時間は2だから
t'=2t₁=